מיריהצגה קוטבית ומשפט דה-מואבר כפל הוא סיבוב
במקום a + bi אפשר לתאר מספר מרוכב לפי שני דברים: כמה הוא רחוק מהראשית, ובאיזו זווית. בצורה הזאת כפל, חזקות ושורשים נעשים קלים מאוד. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
אורך וזווית
הצגה קוטבית
z = r cis θ, כאשר cis θ = cos θ + i sin θ.
r הוא האורך (המרחק מהראשית), ו-θ היא הזווית מהציר הממשי החיובי, נגד כיוון השעון.
מעבר מ-a + bi
r = √(a² + b²)
tan θ = b : a, ואז בודקים באיזה רביע הנקודה. זה בדיוק מעגל היחידה, רק עם רדיוס r.
כפל ודה-מואבר
בכפל כופלים אורכים ומחברים זוויות:
r cis α · s cis β = rs cis (α + β)
ומכאן משפט דה-מואבר: (r cis θ)n = rn cis (nθ).
מעבדה: מסובבים ומותחים
בחרו מצב והזיזו את המחוונים. האורך משנה את המרחק מהראשית, והזווית מסובבת. העיגול המקווקו האפור הוא מעגל היחידה.
נסו את אלה:
שלוש מלכודות
הרביע של הזווית
ל-−2 + 2i המחשבון נותן tan⁻¹(−1) = −45°. אבל הנקודה ברביע II.
הזווית הנכונה היא 135°. תמיד מציירים את הנקודה לפני שמחליטים.
אורכים כופלים
בכפל 2 cis 30° · 3 cis 50° האורך הוא 6, לא 5.
ובחזקה: (2 cis 20°)4 נותן אורך 24 = 16, לא 8.
יש n שורשים
למשוואה z3 = 8 יש שלושה פתרונות, לא רק 2.
הזוויות שלהם: (Φ + 360°·k) : n, עבור k = 0, 1, …, n − 1.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול
כתבו את התשובה בצורה r cis θ: את האורך בתיבה אחת ואת הזווית במעלות בשנייה. אורך לא שלם מעגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.
שאלות שכולם שואלים
מה זה cis במספרים מרוכבים?
cis θ הוא קיצור של cos θ + i sin θ. זו נקודה על מעגל היחידה בזווית θ. המספר r cis θ נמצא באותו כיוון, במרחק r מהראשית.
מה אומר משפט דה-מואבר?
שכדי להעלות מספר מרוכב בחזקה, מעלים את האורך בחזקה וכופלים את הזווית: (r cis θ)n = rn cis (nθ). למשל (2 cis 30°)3 = 8 cis 90° = 8i.
כמה פתרונות יש למשוואה z בחזקת n?
למשוואה zn = w (כש-w ≠ 0) יש בדיוק n פתרונות. לכולם אותו אורך, n√R, והם מפוזרים במרחקים שווים על מעגל: קודקודים של מצולע משוכלל.