מירימעגל היחידה: סינוס וקוסינוס של כל זווית גם מעל 90°
במשולש ישר זווית אין זווית של 150° או של 300°. אז איך מחשבים sin 150°? בעזרת מעגל היחידה: מעגל ברדיוס 1 שמרכזו בראשית. כל זווית נותנת נקודה על המעגל, ושיעורי הנקודה הם הקוסינוס והסינוס. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
נקודה על המעגל
x הוא קוסינוס, y הוא סינוס
מתחילים בציר x החיובי ומסתובבים נגד כיוון השעון בזווית α. מגיעים לנקודה P על המעגל.
השיעור האופקי של P הוא cos α (כחול), והשיעור האנכי הוא sin α (ורוד).
הסימן תלוי ברביע
ימינה מהראשית x חיובי, שמאלה שלילי. למעלה y חיובי, למטה שלילי. לכן:
| רביע | זוויות | sin | cos |
|---|---|---|---|
| I | 0° עד 90° | + | + |
| II | 90° עד 180° | + | − |
| III | 180° עד 270° | − | − |
| IV | 270° עד 360° | − | + |
מעבדה: מסובבים את הנקודה
הזיזו את הזווית מ-0° עד 360°. הרביע שבו נמצאת הנקודה צבוע בצהוב. הנקודה האפורה היא הזווית 180° − α: היא באותו גובה, ולכן יש לה אותו סינוס.
נסו את אלה:
שימו לב: 30°, 150°, 210° ו-330° נותנות את אותם מספרים, רק עם סימנים שונים. בכולן "הזווית מהציר" היא 30°.
שלוש מלכודות
זווית קהה, סינוס חיובי
ברביע II הנקודה למעלה, ולכן sin 150° = 0.5, לא −0.5.
רק הקוסינוס שלילי שם: cos 150° ≈ −0.866.
המחשבון נותן רק תשובה אחת
אם sin α = 0.5, המחשבון אומר 30°. אבל גם 150° מתאימה.
כשכתוב שהזווית קהה (למשל זווית במשולש), התשובה היא 180° − 30° = 150°.
הסימן לא נכנס לזווית
קודם מוצאים את הזווית מהציר (חדה), ורק אחר כך מוסיפים סימן לפי הרביע.
cos 240°: הזווית מהציר 60°, ורביע III, אז −cos 60° = −0.5.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול
אפשר להשתמש במחשבון (במצב מעלות). ערכים מעגלים לשתי ספרות אחרי הנקודה, וזוויות למספר שלם.
שאלות שכולם שואלים
מה זה מעגל היחידה?
מעגל ברדיוס 1 שמרכזו בראשית הצירים. מסובבים רדיוס בזווית α נגד כיוון השעון, והנקודה שמגיעים אליה היא (cos α, sin α). כך מגדירים סינוס וקוסינוס לכל זווית, גם גדולה מ-90°.
למה sin של זווית קהה חיובי וה-cos שלילי?
זווית קהה נמצאת ברביע II, משמאל לציר y ומעל ציר x. הנקודה על המעגל נמצאת למעלה, אז הסינוס (הגובה) חיובי, ושמאלה, אז הקוסינוס שלילי. למשל sin 120° ≈ 0.866 ו-cos 120° = −0.5.
איך מוצאים זווית קהה כשנותנים את הסינוס?
לוחצים sin⁻¹ במחשבון ומקבלים זווית חדה α. לזווית 180° − α יש אותו סינוס, והיא הקהה. למשל sin x = 0.6: המחשבון נותן 36.9°, והזווית הקהה היא 143.1°.