מירימשפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים כל משולש, לא רק ישר זווית
עד עכשיו פתרתם רק משולשים ישרי זווית. שני המשפטים האלה עובדים בכל משולש: חד, קהה או ישר. השאלה החשובה היא איזה משפט לבחור, וזה תלוי במה שנתון. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
שני משפטים ונוסחת שטח
במשולש ABC, הצלע a נמצאת מול הזווית A, הצלע b מול B, והצלע c מול C.
משפט הסינוסים
כל צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה נותן אותו מספר. R הוא רדיוס המעגל החוסם.
מתי? כשיש זוג של צלע והזווית שמולה, ועוד נתון אחד.
משפט הקוסינוסים
זה כמו פיתגורס, עם תיקון. כש-A ישרה, cos 90° = 0 ומקבלים בדיוק פיתגורס.
מתי? כשנתונות שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות.
מעבדה: מה נתון, ואיזה משפט?
בחרו מה נתון, ובנו משולש עם המחוונים. בכחול: מה שנתון. התיבה מראה איזה משפט מתאים ומחשבת את כל השאר.
נסו את אלה:
נסו את 3, 4, 5: יוצאת זווית של בדיוק 90°. ובמשולש 2, 3, 9 אין משולש בכלל, כי 2 + 3 קטן מ-9.
שלוש מלכודות
הסדר בקוסינוסים
מחשבים קודם את 2bc · cos A, ורק אז מחסרים מ-b² + c².
לא נכון: (b² + c² − 2bc) · cos A. ואל תשכחו להוציא שורש בסוף.
זווית קהה: מינוס כפול מינוס
אם A קהה, cos A שלילי. אז −2bc · cos A הופך לפלוס, והצלע יוצאת ארוכה.
זה הגיוני: מול זווית גדולה יש צלע גדולה.
זווית מסינוסים: שתי אפשרויות
כשמוצאים זווית ממשפט הסינוסים, המחשבון נותן זווית חדה. גם 180° פחות אותה זווית מתאימה.
בודקים: האם סכום הזוויות עדיין קטן מ-180°? ומול הצלע הגדולה הזווית הגדולה?
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול
השתמשו במחשבון במצב מעלות. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.
שאלות שכולם שואלים
מתי משתמשים במשפט הסינוסים ומתי במשפט הקוסינוסים?
אם נתונה צלע והזווית שמולה, ועוד צלע או זווית, משתמשים בסינוסים. אם נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן, או שלוש צלעות, משתמשים בקוסינוסים. נסו את שלושת המצבים במעבדה.
איך מחשבים שטח משולש בלי גובה?
בעזרת שתי צלעות והזווית שביניהן: S = ½ · b · c · sin A. למשל צלעות 6 ו-8 עם זווית של 30° ביניהן: S = ½ · 6 · 8 · 0.5 = 12.
מה הקשר בין משפט הקוסינוסים לפיתגורס?
משפט הקוסינוסים הוא פיתגורס עם תיקון: a² = b² + c² − 2bc · cos A. כשהזווית A ישרה, cos 90° = 0, התיקון נעלם ונשאר a² = b² + c².