מירימשוואות טריגונומטריות תמיד יש עוד פתרון
במשוואה 2x + 1 = 7 יש פתרון אחד. במשוואה sin x = 0.5 יש המון: 30°, 150°, 390° ועוד. כאן תלמדו למצוא את כולם, בעזרת מעגל היחידה והגרף. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
שני פתרונות בכל סיבוב
סינוס: x ו-180° − x
הסינוס הוא הגובה של הנקודה על המעגל. ישר אופקי בגובה k חותך את המעגל בשתי נקודות, אחת מכל צד של ציר y.
קוסינוס: x ו-−x
הקוסינוס הוא המרחק ימינה או שמאלה. ישר אנכי חותך את המעגל בשתי נקודות, אחת מעל ציר x ואחת מתחתיו.
בתחום 0° עד 360° הפתרון השני הוא 360° − x₁.
מעבדה: ישר חותך מעגל וגל
בחרו סינוס או קוסינוס, והזיזו את k. הקו הוורוד הוא y = k. הנקודות הכחולות הן הפתרונות בין 0° ל-360°, גם על המעגל וגם על הגרף.
נסו את אלה:
ב-k = 1 הישר רק נוגע במעגל, ויש פתרון אחד בסיבוב. וכש-k גדול מ-1, הישר בכלל לא פוגש את המעגל: אין פתרון.
שלוש מלכודות
שכחו את הפתרון השני
המחשבון נותן רק x₁. ב-sin x = 0.5 הוא אומר 30°, אבל גם 150° פתרון.
הנוסחה הלא נכונה
לסינוס הפתרון השני הוא 180° − x₁. לקוסינוס הוא −x₁, כלומר 360° − x₁.
מתבלבלים? ציירו את המעגל ובדקו איפה הישר חותך.
זווית שלילית מהמחשבון
sin⁻¹(−0.5) = −30°. זה פתרון, אבל לא בתחום. מוסיפים 360°: 330°.
והשני: 180° − (−30°) = 210°.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול
מצאו את שני הפתרונות בין 0° ל-360°. עגלו למספר שלם. הסדר לא משנה.
שאלות שכולם שואלים
למה למשוואה טריגונומטרית יש הרבה פתרונות?
כי כל 360° חוזרים לאותה נקודה על המעגל, וסינוס וקוסינוס חוזרים על עצמם. לכן כותבים פתרון כללי עם + 360°·n, כאשר n מספר שלם.
איך מוצאים את הפתרון השני של sin x = k?
המחשבון נותן x₁ = sin⁻¹(k). הפתרון השני הוא 180° − x₁. למשל sin x = 0.5: x = 30° או x = 150°. בקוסינוס הפתרון השני הוא 360° − x₁.
מה עושים כש-sin x שווה למספר גדול מ-1?
אין פתרון. סינוס וקוסינוס הם שיעורים של נקודה על מעגל ברדיוס 1, ולכן הם תמיד בין −1 ל-1. המחשבון יראה הודעת שגיאה, וזה בסדר.