מיריסדרה חשבונית: איבר כללי וסכום הטריק של גאוס
כמה זה 1 + 2 + 3 + … + 100? אפשר לחבר מאה מספרים, ואפשר לגלות טריק קצר שעובד בכל סדרה חשבונית. בעמוד הזה לומדים את נוסחת הסכום, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
מחברים מהקצוות
את האיבר הכללי כבר הכרתם בסדרות של כיתה ט: an = a1 + (n − 1)d. עכשיו רוצים את הסכום של כל האיברים.
זוגות שווים
הראשון ועוד האחרון: 1 + 100 = 101.
השני ועוד הלפני אחרון: 2 + 99 = 101.
כל זוג כזה נותן אותו סכום, כי צד אחד עולה בדיוק כמו שהצד השני יורד.
כמה זוגות?
יש 100 מספרים, אז יש 50 זוגות.
50 · 101 = 5050
זה כל הסכום, בלי לחבר מאה מספרים.
הנוסחה
Sn = n(a1 + an) ÷ 2
מספר האיברים, כפול (ראשון ועוד אחרון), חלקי 2.
מעבדה: מגדל ועוד מגדל הפוך
כל איבר הוא עמודה כחולה. הדליקו את "המגדל ההפוך" ותראו: אותן עמודות, הפוכות, ממלאות בדיוק מלבן. כל עמודה במלבן גבוהה a1 + an, ויש n עמודות. הסכום הוא חצי מהמלבן.
נסו את אלה:
גלו משהו: בסדרת האי-זוגיים 1 + 3 + 5 + … הסכום של n איברים הוא תמיד n². נסו עם הכפתור השני ושנו את n.
שלוש מלכודות
שוכחים לחלק ב-2
n(a1 + an) הוא המלבן כולו, כלומר פעמיים הסכום.
ב-1 + 2 + … + 10 המלבן הוא 10 · 11 = 110, והסכום 55.
סופרים לא נכון את n
כמה איברים יש מ-7 עד 99 בקפיצות של 4? לא 92 ÷ 4 = 23.
יש 23 קפיצות, ולכן 24 איברים. תמיד מוסיפים 1.
מבלבלים בין an ל-Sn
a10 הוא האיבר העשירי.
S10 הוא הסכום של עשרת האיברים הראשונים. קראו את השאלה פעמיים.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
חשבו את הסכום:
תרגול: חשבו בעצמכם
כל פעם תקבלו סדרה חדשה ושאלה אחת. מספר שלילי כותבים עם מינוס, למשל -40.
שאלות שכולם שואלים
איך מחשבים סכום של סדרה חשבונית?
משתמשים בנוסחה Sn = n(a1 + an) ÷ 2: מספר האיברים, כפול הראשון ועוד האחרון, חלקי 2. אם לא יודעים את האיבר האחרון, משתמשים ב-Sn = n[2a1 + (n − 1)d] ÷ 2. ראו בדוגמה הפתורה.
מה הטריק של גאוס?
מחברים את המספרים בזוגות מהקצוות: הראשון עם האחרון, השני עם הלפני אחרון. כל זוג נותן אותו סכום. ב-1 + 2 + … + 100 יש 50 זוגות של 101, ולכן הסכום 5050. ראו את זה במעבדה.
איך יודעים כמה איברים יש בסדרה?
מציבים את האיבר האחרון באיבר הכללי ופותרים: a1 + (n − 1)d = an. בקיצור: n = (an − a1) ÷ d + 1. לא לשכוח את ה-1 בסוף.