מיריסדרה הנדסית: איבר כללי וסכום כל פעם כופלים
בסדרה חשבונית מוסיפים כל פעם אותו מספר. בסדרה הנדסית כופלים כל פעם באותו מספר. כך גדל חשבון בבנק, כך מתפשטת שמועה, וכך מתקצר כדור קופץ. בעמוד הזה לומדים את האיבר הכללי, את נוסחת הסכום ואת הסכום של סדרה אינסופית, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
אותו כופל בכל צעד
המנה q
המספר שכופלים בו נקרא המנה. מוצאים אותו בחילוק של איבר באיבר שלפניו: 6 ÷ 3 = 2.
בסדרה חשבונית מחסרים, בהנדסית מחלקים.
האיבר הכללי
כדי להגיע לאיבר ה-n כופלים ב-q בדיוק n − 1 פעמים:
an = a1 · qn − 1
הסכום
הסכום של n האיברים הראשונים:
Sn = a1(qn − 1) ÷ (q − 1)
הנוסחה עובדת לכל q ≠ 1.
מעבדה: מגדלים שגדלים מהר
כל עמודה היא איבר. הזיזו את q ותראו כמה מהר העמודות גדלות. כש-q שלילי הסימנים מתחלפים. בחרו q בין −1 ל-1 והדליקו את "הסכום האינסופי".
נסו את אלה:
גלו משהו: עם q = 0.5 כל איבר הוא חצי מהקודם, והסכום מתקרב לכפול מהאיבר הראשון. עם q = 2 כל איבר גדול מסכום כל האיברים שלפניו.
שלוש מלכודות
חזקה n במקום n − 1
באיבר הראשון עוד לא כפלנו אף פעם. לכן באיבר ה-5 כופלים רק 4 פעמים.
a5 = 3 · 24 = 48, לא 3 · 25.
כופלים במקום להעלות בחזקה
qn − 1 זו חזקה, לא כפל.
24 = 16, ולא 2 · 4 = 8. וגם קודם מעלים בחזקה ורק אחר כך כופלים ב-a1.
סכום אינסופי כש-|q| ≥ 1
הנוסחה a1 ÷ (1 − q) עובדת רק כש-q בין −1 ל-1.
עם q = 2 הסכום רק גדל ואין לו גבול. אל תציבו בנוסחה.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
חלק א: בסדרה 5, 15, 45, … מצאו את a6 ואת S6. חלק ב: מצאו את הסכום האינסופי של 18, 6, 2, …
תרגול: חשבו בעצמכם
כל פעם תקבלו סדרה חדשה ושאלה אחת. אפשר לכתוב שבר, למשל 3/2, ומספר שלילי עם מינוס, למשל -96.
שאלות שכולם שואלים
מה ההבדל בין סדרה חשבונית לסדרה הנדסית?
בסדרה חשבונית מוסיפים כל פעם אותו מספר (ההפרש d). בסדרה הנדסית כופלים כל פעם באותו מספר (המנה q). כדי לבדוק: אם ההפרשים בין איברים שכנים שווים, היא חשבונית. אם המנות שוות, היא הנדסית. ראו גם את הסדרה החשבונית.
איך מחשבים סכום של סדרה הנדסית?
משתמשים בנוסחה Sn = a1(qn − 1) ÷ (q − 1). למשל ב-5, 15, 45, … הסכום של 6 איברים הוא 5(36 − 1) ÷ 2 = 1820. ראו בדוגמה הפתורה.
מתי יש לסדרה הנדסית סכום אינסופי?
רק כשהמנה בין −1 ל-1. אז האיברים קטנים ומתקרבים ל-0, והסכום מתקרב ל-a1 ÷ (1 − q). למשל 18 + 6 + 2 + … מתקרב ל-27. נסו במעבדה.