מיריבעיות קיצון הכי גדול, הכי קטן
מה השטח הכי גדול שאפשר לגדר? באיזה גודל לחתוך כדי לקבל קופסה עם הכי הרבה נפח? בבעיית קיצון הופכים סיפור לפונקציה, גוזרים ומשווים לאפס. זה בדיוק מה שעשיתם בחקירת פולינום, רק שהפונקציה באה מהסיפור. מתאים ל-4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: חמישה צעדים קבועים
המתכון
- מסמנים ב-x את מה שאפשר לשנות.
- כותבים את מה שרוצים להגדיל או להקטין כפונקציה של x בלבד.
- מוצאים את התחום: אילו x הגיוניים בסיפור (אורך לא שלילי, למשל).
- גוזרים ומשווים ל-0.
- בודקים בטבלת סימנים שזה באמת מקסימום או מינימום, ועונים על השאלה.
למה הנגזרת?
כל עוד הנגזרת חיובית, הפונקציה עולה, ושווה להמשיך להגדיל את x. כשהנגזרת נעשית שלילית, כבר עברנו את השיא. בשיא עצמו המשיק אופקי, והנגזרת שווה 0.
רוצים להיזכר מה זה נגזרת? בנגזרת: שיפוע המשיק.
מעבדה: מחפשים את השיא
בחרו סיפור, ואז הזיזו את x. למעלה רואים את הצורה, ולמטה את הגרף של מה שרוצים להגדיל. הנקודה הצהובה זזה על הגרף, והקו הכחול הוא המשיק.
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- פונקציה עם שני משתנים. S = x · y עוד לא מוכנה לגזירה. קודם מבטאים את y בעזרת x מהנתון, ורק אז גוזרים.
- לוקחים את הפתרון הלא נכון של הנגזרת. בקופסה מקבלים x = 2 או x = 6. אבל ב-x = 6 חותכים את כל הדף, והנפח 0. תמיד בודקים שהפתרון בתוך התחום.
- מניחים שהתשובה היא ריבוע. בלי קיר, גדר סביב מלבן נותנת ריבוע. עם קיר בצד אחד, התשובה לא ריבוע. רק החישוב יגיד.
- עונים על שאלה אחרת. השאלה הייתה "מה השטח הכי גדול"? אז x הוא לא התשובה. מציבים את x בפונקציה ועונים במילים.
דוגמה פתורה: הקופסה הכי גדולה
יש דף ריבועי, 12 על 12 ס״מ. חותכים ריבוע שצלעו x בכל פינה, ומקפלים את השוליים לקופסה פתוחה. איזה x נותן את הנפח הכי גדול? לחצו "הצעד הבא".
תרגול: סיפור, פונקציה, שיא
בכל פעם סיפור אחר. כתבו את x ואת הערך הכי גדול (או הכי קטן). הגרף מופיע ברמז השני.
שאלות שכולם שואלים
איך פותרים בעיית קיצון שלב אחרי שלב?
מסמנים ב-x את מה שמשתנה, כותבים את מה שרוצים להגדיל או להקטין כפונקציה של x בלבד, מוצאים תחום, גוזרים ומשווים ל-0. בסוף בודקים בטבלת סימנים שזה מקסימום או מינימום, ועונים על מה ששאלו. ראו דוגמה מלאה.
איך יודעים אם מצאתי מקסימום או מינימום?
בודקים את סימן הנגזרת משני הצדדים. אם היא עוברת מחיובית לשלילית, זה מקסימום. משלילית לחיובית, זה מינימום. אפשר גם להציב x קצת לפני וקצת אחרי ולהשוות את הערכים.
מה עושים כשהנגזרת נותנת שני פתרונות?
בודקים מי מהם בתוך התחום של הסיפור. פתרון שנותן אורך שלילי או נפח 0 נפסל. אם שניהם בתחום, בודקים כל אחד בטבלת סימנים, ובוחרים את מה שמתאים לשאלה. תרגלו למטה.