מיריחקירת פונקציית שורש הגרף מתחיל בקצה
לפונקציה עם √ יש נקודת התחלה. לפני הנקודה הזאת אין גרף בכלל, כי אסור שורש של מספר שלילי. כאן לומדים למצוא את תחום ההגדרה, לגזור שורש, ולמצוא קיצון גם בתוך התחום וגם בקצה שלו. מתאים ל-4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: שלושה דברים מיוחדים בשורש
1. תחום ההגדרה
מה שבתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל-0. ב-f(x) = √(x − 2) צריך x − 2 ≥ 0, כלומר x ≥ 2.
2. הנגזרת
הנגזרת של √x היא 1 ÷ (2√x). ואם בתוך השורש יש ביטוי, כופלים גם בנגזרת שלו (כלל השרשרת):
(√u)′ = u′ ÷ (2√u)
3. קיצון בקצה
בנקודת ההתחלה הגרף לא יכול להמשיך אחורה. לכן היא תמיד נקודת קיצון: מינימום אם הגרף עולה ממנה, מקסימום אם הוא יורד ממנה. שם הנגזרת לא מוגדרת (מחלקים ב-0), ולכן משווים לאפס לא ימצא אותה.
מעבדה: מזיזים את השורש
הפונקציה היא f(x) = a√(x − p) + k, או הפוכה, עם √(p − x). הזיזו את המחוונים, ואחר כך הזיזו את הנקודה הצהובה. הקו הכחול המקווקו הוא המשיק, והשיפוע שלו הוא הנגזרת.
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- שוכחים את ה-2 במכנה. הנגזרת של √x היא 1 ÷ (2√x), לא 1 ÷ √x. כי √x = x½, והחצי יורד למטה.
- שוכחים את הנגזרת הפנימית. ב-√(3 − x) הנגזרת של מה שבפנים היא −1. לכן f′(x) = −1 ÷ (2√(3 − x)), עם מינוס.
- מפספסים את הקיצון בקצה. משווים את הנגזרת ל-0 ולא מוצאים כלום? זה לא אומר שאין קיצון. נקודת ההתחלה של התחום היא קיצון, גם כשהנגזרת שם לא מוגדרת.
- אי-שוויון הפוך בתחום. ב-√(4 − 2x) פותרים 4 − 2x ≥ 0. מחלקים ב-−2, אז הסימן מתהפך: x ≤ 2.
דוגמה פתורה: חקירה מלאה
נחקור את f(x) = x − 4√x. לחצו "הצעד הבא".
תרגול: תחום, נגזרת וקיצון
בכל פעם שאלה אחת. הגרף מופיע ברמז השני, אז נסו קודם לבד.
שאלות שכולם שואלים
מה הנגזרת של שורש x?
הנגזרת של √x היא 1 ÷ (2√x). אם בתוך השורש יש ביטוי u, הנגזרת היא u′ ÷ (2√u). למשל הנגזרת של √(3x + 1) היא 3 ÷ (2√(3x + 1)). תרגלו למטה.
איך מוצאים תחום הגדרה של פונקציית שורש?
דורשים שמה שבתוך השורש יהיה גדול או שווה ל-0, ופותרים את אי-השוויון. ב-√(6 − 2x) מקבלים 6 − 2x ≥ 0, ולכן x ≤ 3. אם יש גם מכנה, מוציאים גם את מה שמאפס אותו.
למה נקודת הקצה של התחום היא נקודת קיצון?
כי אין גרף לפניה. אם הגרף עולה ממנה, אין שום נקודה נמוכה ממנה בסביבה, ולכן היא מינימום. אם הוא יורד ממנה, היא מקסימום. הנגזרת שם לא מוגדרת, אז צריך לבדוק אותה בנפרד. כך עושים גם בחקירת פולינום כשהתחום מוגבל.