מיריכללי גזירה: מכפלה, מנה ושרשרת שלושה כלים לכל פונקציה
את x³ + 2x כבר יודעים לגזור. אבל מה עושים עם (x + 2)(x² − 3), עם שבר כמו 4x ÷ (x² + 1), או עם (x² − 2)⁵? לכל מקרה יש כלל משלו: כלל המכפלה, כלל המנה וכלל השרשרת. נלמד מתי משתמשים בכל אחד, ונבדוק במעבדה שהם באמת נותנים את השיפוע. החומר מתאים ל-4 ול-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: שלושה כללים
בכל כלל קוראים לחלקים בשם: u הוא החלק הראשון, ו-v הוא החלק השני. הגרש (′) אומר "הנגזרת של".
מכפלה: שני חלקים כפולים
(u·v)′ = u′·v + u·v′
גוזרים כל פעם רק חלק אחד ומשאירים את השני כמו שהוא. ואז מחברים. לא כופלים את שתי הנגזרות.
מנה: שבר
(u ÷ v)′ = (u′·v − u·v′) ÷ v²
כמו מכפלה, אבל עם מינוס באמצע, והכול מחולק במכנה בריבוע. הסדר חשוב: מתחילים מהנגזרת של המונה.
שרשרת: פונקציה בתוך פונקציה
(g(h(x)))′ = g′(h(x)) · h′(x)
ב-(x² − 2)⁵ יש "חלק פנימי" בתוך הסוגריים. גוזרים את החיצוני כאילו הפנימי הוא x רגיל: 5(x² − 2)⁴. ואז כופלים בנגזרת של הפנימי: · 2x.
מעבדה: הכלל מול השיפוע האמיתי
בחרו כלל ופונקציה. הזיזו את x₀. המעבדה מציבה בכלל, ובודקת שהתוצאה שווה לשיפוע של המשיק שמודדים על הגרף.
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- כופלים את הנגזרות. (u·v)′ הוא לא u′·v′. ב-x · x זה היה נותן 1, אבל (x²)′ = 2x.
- מחליפים סדר במנה. במונה כותבים u′v − uv′, ולא להפך. הפוך יוצא אותו מספר עם סימן הפוך.
- שוכחים את הריבוע במכנה. במנה מחלקים ב-v², לא ב-v.
- שוכחים לכפול בנגזרת הפנימית. ((2x + 1)³)′ = 3(2x + 1)² · 2. בלי ה-2 בסוף התשובה קטנה פי 2.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול: מה השיפוע בנקודה?
בכל תרגיל בחרו את הכלל המתאים, גזרו, והציבו את הנקודה. אפשר לכתוב שבר עם קו נטוי (3/4) או מספר עשרוני.
שאלות שכולם שואלים
מה זה כלל השרשרת?
כלל השרשרת גוזר פונקציה שיש בתוכה פונקציה אחרת, כמו סוגריים בחזקה. גוזרים את החלק החיצוני ומשאירים את הפנימי כמו שהוא, ואז כופלים בנגזרת של הפנימי. למשל ((x² + 1)³)′ = 3(x² + 1)² · 2x.
איך גוזרים שבר עם x במכנה?
משתמשים בכלל המנה: (u ÷ v)′ = (u′v − uv′) ÷ v². מתחילים תמיד מהנגזרת של המונה, שמים מינוס באמצע, ומחלקים במכנה בריבוע. ראו דוגמה פתורה.
למה הנגזרת של מכפלה היא לא מכפלת הנגזרות?
כי כששני החלקים משתנים ביחד, כל אחד מהם תורם לשינוי. לכן גוזרים כל פעם חלק אחד ומחברים: u′v + uv′. דוגמה קצרה: x · x = x², והנגזרת היא 2x, ולא 1 · 1 = 1.