מירימשוואת המשיק לגרף שיפוע, נקודה, וישר
המשיק הוא ישר שנוגע בגרף בנקודה אחת ויש לו בדיוק את אותו שיפוע כמו הגרף שם. כדי לכתוב את המשוואה שלו צריך שני דברים: את השיפוע, שמקבלים מהנגזרת, ואת הנקודה, שמקבלים מהפונקציה. משם זו בדיוק משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה. נלמד גם למצוא משיק שמקביל לישר נתון. החומר מתאים ל-4 ול-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: שלושה צעדים
משיק בנקודה x₀
- הנקודה: y₀ = f(x₀).
- השיפוע: m = f′(x₀).
- המשוואה: y − y₀ = m(x − x₀), ואז מסדרים ל-y = mx + b.
משיק מקביל לישר
ישרים מקבילים הם ישרים עם אותו שיפוע. אם מבקשים משיק שמקביל ל-y = 3x + 1, מחפשים נקודה שבה f′(x) = 3.
פותרים את המשוואה הזאת ומקבלים את x₀. משם ממשיכים בשלושת הצעדים הרגילים.
מעבדה: מזיזים את נקודת ההשקה
בחרו פונקציה ומצב. במצב "בנקודה" הזיזו את x₀ וראו את משוואת המשיק משתנה. במצב "מקביל לישר" בחרו שיפוע k, והמעבדה תמצא איפה המשיק מקביל לישר האפור.
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- שיפוע מהפונקציה במקום מהנגזרת. f(x₀) הוא הגובה של הנקודה, לא השיפוע. את השיפוע מקבלים רק מ-f′(x₀).
- b הוא לא y₀. אחרי שמציבים בנוסחה צריך לסדר: b = y₀ − mx₀. רק כש-x₀ = 0 יוצא b = y₀.
- מקביל זה לא "אותה נקודה". במשיק מקביל משווים את הנגזרת לשיפוע הנתון, f′(x) = k. לא משווים את f(x) לישר.
- מינוס כפול מינוס. כש-x₀ שלילי: y − 4 = −4(x + 2). פותחים סוגריים בזהירות.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול: כתבו את המשיק
כל פעם תופיע פונקציה חדשה ושאלה. אפשר לכתוב שבר עם קו נטוי (1/2) או מספר עשרוני.
שאלות שכולם שואלים
איך מוצאים משוואת משיק לגרף?
מציבים את x₀ בפונקציה ומקבלים את נקודת ההשקה. מציבים אותו בנגזרת ומקבלים את השיפוע. ואז כותבים y − y₀ = m(x − x₀) ומסדרים. ראו דוגמה פתורה.
איך מוצאים משיק שמקביל לישר נתון?
ישרים מקבילים הם ישרים עם אותו שיפוע. לוקחים את השיפוע של הישר הנתון, משווים אליו את הנגזרת, ופותרים. כך מקבלים את ה-x של נקודת ההשקה, ומשם ממשיכים כרגיל.
מה המשמעות של משיק אופקי?
משיק אופקי הוא משיק עם שיפוע 0, כלומר f′(x₀) = 0. המשוואה שלו היא y = y₀. בנקודות כאלה הגרף מפסיק לעלות או לרדת, ולכן הן חשובות מאוד בחקירת פונקציות.