מיריחקירת פולינום הנגזרת מספרת לאן הגרף הולך
חקירת פונקציה היא רשימת שאלות קבועה: תחום, חיתוכים, קיצון, עלייה וירידה, ובסוף סקיצה. בפולינום הכול קורה בעזרת הנגזרת. איפה שהנגזרת חיובית הגרף עולה, איפה שהיא שלילית הוא יורד, ואיפה שהיא מחליפה סימן יש נקודת קיצון. לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: הסימן של הנגזרת
הנגזרת היא השיפוע
הנגזרת f′(x) אומרת מה השיפוע של הגרף בכל נקודה. עוד על זה בנגזרת: שיפוע המשיק.
f′(x) > 0: הגרף עולה. f′(x) < 0: הגרף יורד.
בנקודת קיצון השיפוע הוא 0, והנגזרת מחליפה סימן: מ-+ ל-− זה מקסימום, ומ-− ל-+ זה מינימום.
סדר החקירה
- תחום הגדרה (בפולינום: כל x).
- גוזרים ומשווים לאפס: f′(x) = 0.
- טבלת סימנים של f′.
- נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה.
- חיתוך עם הצירים, ואז סקיצה.
מעבדה: בונים פולינום וחוקרים אותו
הזיזו את המקדמים של f(x) = ax³ + bx² + cx + d. הקו המקווקו הכחול הוא הנגזרת. שימו לב: בכל מקום שהיא חוצה את ציר x, הגרף מחליף כיוון.
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- נגזרת 0 זה לא תמיד קיצון. ב-f(x) = x³ הנגזרת 3x² מתאפסת ב-0, אבל לא מחליפה סימן. הגרף עולה לפני ואחרי, ואין שם קיצון. לכן תמיד בונים טבלת סימנים.
- שוכחים להוריד את החזקה. הנגזרת של 2x³ היא 6x², לא 2x². כופלים במעריך ומורידים אותו ב-1.
- המספר החופשי נעלם. הנגזרת של מספר קבוע היא 0. ב-x³ − 3x + 5 הנגזרת היא 3x² − 3, בלי ה-5.
- נקודת קיצון צריכה גם y. מצאתם x = 2? הציבו אותו בפונקציה המקורית, לא בנגזרת. בנגזרת תמיד יוצא 0.
דוגמה פתורה: חקירה מלאה
נחקור את f(x) = x³ − 3x². לחצו "הצעד הבא".
תרגול: חלק אחד מהחקירה בכל פעם
בכל תרגיל יש פולינום ושאלה אחת. הגרף מופיע רק ברמז השני, אז נסו קודם לבד עם הנגזרת.
שאלות שכולם שואלים
איך מוצאים נקודות קיצון של פולינום?
גוזרים, משווים את הנגזרת ל-0 ופותרים. אחר כך בונים טבלת סימנים: אם הנגזרת עוברת מ-+ ל-− יש מקסימום, ואם מ-− ל-+ יש מינימום. בסוף מציבים את ה-x בפונקציה המקורית כדי למצוא את ה-y. ראו בדוגמה הפתורה.
למה צריך טבלת סימנים אם כבר מצאתי איפה הנגזרת 0?
כי לא כל נקודה שבה הנגזרת 0 היא קיצון. ב-f(x) = x³ הנגזרת 0 ב-x = 0, אבל הגרף עולה משני הצדדים. הטבלה גם נותנת לכם מיד את תחומי העלייה והירידה. נסו את x³ במעבדה.
כמה נקודות קיצון יכולות להיות לפולינום ממעלה שלישית?
שתיים, אחת, או אף אחת. הנגזרת היא ביטוי ריבועי, ולכן יש לה עד שני שורשים. אם יש שני שורשים שונים, יש מקסימום אחד ומינימום אחד. אם אין שורשים, או שיש שורש כפול, הגרף רק עולה או רק יורד. תרגלו למטה.