מיריחקירת פונקציה רציונלית כשיש x במכנה
פונקציה רציונלית היא שבר שיש בו x במכנה. יש לה תכונות שלפולינום אין: מקומות שאסור להציב בהם, ואסימפטוטות, קווים שהגרף מתקרב אליהם ולא נוגע בהם. החקירה עצמה כמו בפולינום, עם נגזרת וטבלת סימנים, רק שמוסיפים לה את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות. לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: איפה המכנה מתאפס, ולאן הגרף בורח
אסימפטוטה אנכית
אסור לחלק ב-0. לכן מוציאים מהתחום כל x שמאפס את המכנה.
אם במקום הזה המונה לא 0, הגרף בורח למעלה או למטה, ויש שם אסימפטוטה אנכית. אם גם המונה 0, יש רק "חור" בגרף.
למשל ב-f(x) = 2x + 1x − 1 האסימפטוטה היא x = 1.
אסימפטוטה אופקית
מה קורה כש-x גדול מאוד? אם המעלה של המונה והמכנה שווה, הגרף מתקרב ליחס בין המקדמים המובילים. ב-2x + 1x − 1 זה y = 2.
אם המעלה של המכנה גדולה יותר, הגרף מתקרב ל-y = 0.
מעבדה: מזיזים את האסימפטוטות
הפונקציה היא f(x) = ax + bx − c. הקווים הכחולים המקווקווים הם האסימפטוטות. נסו למצוא מצב שבו האסימפטוטה האנכית נעלמת.
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- אסימפטוטה אנכית באה מהמכנה, לא מהמונה. ב-x + 3x − 2 האסימפטוטה היא x = 2. ה-x = −3 הוא נקודת חיתוך עם ציר x.
- הסימן מתהפך. המכנה x + 1 מתאפס ב-x = −1, לא ב-x = 1.
- אסימפטוטה אנכית היא x = מספר, ואופקית היא y = מספר. מי שכותב y = 2 במקום x = 2 מתאר קו אחר לגמרי.
- שוכחים את תחום ההגדרה בטבלת הסימנים. הנגזרת יכולה להחליף סימן גם באסימפטוטה. לכן שמים בטבלה גם את ה-x שמחוץ לתחום, אבל שם אין נקודת קיצון.
דוגמה פתורה: חקירה מלאה
נחקור את f(x) = x²x² − 4. לחצו "הצעד הבא".
תרגול: חלק אחד מהחקירה בכל פעם
בכל תרגיל יש פונקציה ושאלה אחת. הגרף מופיע רק ברמז השני, אז נסו קודם מהנוסחה.
שאלות שכולם שואלים
איך מוצאים אסימפטוטה אנכית?
מוצאים את ה-x שמאפס את המכנה, ובודקים שהמונה לא 0 באותו x. אם המונה לא 0, יש שם אסימפטוטה אנכית. למשל ב-3x − 2 המכנה מתאפס ב-x = 2, אז האסימפטוטה היא x = 2. נסו במעבדה.
איך מוצאים אסימפטוטה אופקית?
משווים את המעלות של המונה והמכנה. אם הן שוות, האסימפטוטה היא היחס בין המקדמים המובילים, למשל 2x + 1x − 1 מתקרבת ל-y = 2. אם המעלה של המכנה גדולה יותר, האסימפטוטה היא y = 0.
מה ההבדל בין אסימפטוטה ל"חור" בגרף?
בשני המקרים המכנה 0 והנקודה מחוץ לתחום. אם גם המונה 0 באותו x, אפשר לצמצם, והגרף נראה רגיל עם נקודה אחת חסרה. אם המונה לא 0, הגרף בורח לאינסוף ויש אסימפטוטה. עוד על צמצום בשברים אלגבריים.