מירינגזרת: שיפוע המשיק וכללי גזירה כמה תלול הגרף כאן?
בישר יש שיפוע אחד לכל אורכו. בגרף מעוקל השיפוע משתנה מנקודה לנקודה: פעם עולה חזק, פעם כמעט שטוח, פעם יורד. הנגזרת היא מכונה שאומרת לנו מה השיפוע בכל נקודה. נבין מאיפה היא באה, ונלמד לגזור פולינומים. החומר מתאים ל-4 ול-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: שיפוע של עקומה
מיתר שהופך למשיק
לוקחים שתי נקודות על הגרף ומחברים אותן בקו. זה מיתר, ואת השיפוע שלו כבר יודעים לחשב, כמו בשיפוע בין שתי נקודות.
עכשיו מקרבים את הנקודה השנייה לראשונה. המיתר השחור מסתובב, ובסוף הוא נוגע בגרף רק בנקודה אחת. זה המשיק, הקו הכחול. השיפוע שלו הוא הנגזרת.
הכלל של חזקה
לא צריך לקרב נקודות כל פעם. לפולינומים יש כלל קצר: מורידים את החזקה לפנים, ומקטינים אותה ב-1.
- (x³)′ = 3x²
- (5x²)′ = 10x
- (4x)′ = 4
- (7)′ = 0, כי מספר לבד לא משתנה.
בפולינום גוזרים כל איבר לבד ומחברים. אם f(x) = x² + 3x, אז f′(x) = 2x + 3.
מעבדה: מקרבים את המיתר
בחרו פונקציה. הזיזו את x₀ כדי לבחור נקודה, ואת h כדי לקבוע כמה רחוקה הנקודה השנייה. הקטינו את h וראו איך שיפוע המיתר מתקרב לשיפוע המשיק.
הגרף של הנגזרת f′(x):
נסו את אלה:
שימו לב לגרף התחתון: איפה שהגרף העליון עולה, הנגזרת מעל ציר x. איפה שהוא יורד, הנגזרת מתחת. ואיפה שהמשיק אופקי, הנגזרת בדיוק 0.
מלכודות שכולם נופלים בהן
- שוכחים להוריד את החזקה. (x³)′ = 3x², ולא 3x³. מורידים את 3 לפנים וגם מקטינים את החזקה ל-2.
- הנגזרת של מספר היא 0. ב-f(x) = x² + 5 הנגזרת היא 2x. ה-5 נעלם, כי הוא רק מזיז את הגרף למעלה ולא משנה אותו.
- מציבים בפונקציה במקום בנגזרת. שואלים מה השיפוע ב-x = 2? קודם גוזרים, ורק אחר כך מציבים 2 ב-f′. f(2) הוא הגובה, לא השיפוע.
- המקדם נשאר. (4x³)′ = 4 · 3x² = 12x². כופלים את המקדם במעריך, לא מחליפים אותו.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
לחצו "הצעד הבא" ותראו איך מוצאים שיפוע של גרף בנקודה.
תרגול: גוזרים ומציבים
כל פעם תופיע פונקציה חדשה ושאלה עליה. אפשר לכתוב שבר עם קו נטוי (1/2) או מספר עשרוני.
שאלות שכולם שואלים
מה זה נגזרת במילים פשוטות?
נגזרת היא השיפוע של הגרף בכל נקודה. היא אומרת כמה מהר הפונקציה משתנה שם: מספר חיובי גדול אומר שהגרף עולה חזק, מספר שלילי אומר שהוא יורד, ו-0 אומר שהמשיק אופקי. ראו את זה במעבדה.
איך גוזרים x בחזקה?
מורידים את החזקה לפנים, ומקטינים אותה ב-1. למשל (x⁴)′ = 4x³ ו-(3x²)′ = 6x. הנגזרת של x היא 1, והנגזרת של מספר לבד היא 0.
מה ההבדל בין f(x) ל-f′(x)?
f(a) הוא הגובה של הגרף בנקודה, כלומר ערך ה-y. f′(a) הוא השיפוע של הגרף באותה נקודה. כדי למצוא שיפוע קודם גוזרים, ורק אחר כך מציבים. תרגלו את זה.