מיריפונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים גוזרים אחורה
עד עכשיו קיבלנו פונקציה ומצאנו את הנגזרת שלה. עכשיו הולכים בכיוון ההפוך: נותנים לנו את הנגזרת, ואנחנו מחפשים את הפונקציה שממנה היא באה. פונקציה כזאת נקראת פונקציה קדומה. נבין למה תמיד יש הרבה כאלה, ולמה מוסיפים C. החומר מתאים ל-4 ול-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: מה גזרו כדי לקבל את זה?
הפוך מגזירה
F היא פונקציה קדומה של f אם F′(x) = f(x).
למשל, הנגזרת של x² היא 2x. לכן x² היא פונקציה קדומה של 2x.
הבדיקה תמיד קלה: גוזרים את מה שמצאתם, וצריך לחזור בדיוק ל-f.
למה יש C?
גם x² + 5 וגם x² − 3 נגזרות ל-2x, כי הנגזרת של מספר היא 0.
כל העקומות האלה הן אותה צורה, רק מוזזת למעלה או למטה. לכן כותבים x² + C, כש-C הוא מספר כלשהו.
הכלל לחזקה
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C
מעלים את החזקה ב-1, ומחלקים בחזקה החדשה. זה בדיוק הפוך מגזירה, שבה מורידים את החזקה לפנים ומקטינים אותה.
- ∫x² dx = x³3 + C
- ∫6x dx = 3x² + C, כי 6 ÷ 2 = 3.
- ∫5 dx = 5x + C. מספר לבד מקבל x.
מעבדה: משפחה של פונקציות קדומות
בחרו f. הגרף הוורוד הוא פונקציה קדומה F, והאפורים הם עוד פונקציות קדומות עם C אחר. הזיזו את C ואת הנקודה x₀, והשוו את שיפוע המשיק לגובה של f בגרף התחתון.
הגרף של f(x), הנגזרת של כולן:
נסו את אלה:
שימו לב: כשמזיזים את C, הגרף הוורוד עולה ויורד, אבל המשיק נשאר מקביל לעצמו. השיפוע ב-x₀ תמיד שווה ל-f(x₀), לכל C.
מלכודות שכולם נופלים בהן
- שוכחים את + C. באינטגרל לא מסוים התשובה היא משפחה שלמה. בלי C כתבתם רק אחת מהן.
- לא מחלקים בחזקה החדשה. ∫x² dx הוא לא x³. אם גוזרים x³ מקבלים 3x², יותר מדי. צריך x³3.
- גוזרים במקום לעשות אינטגרל. ∫4x³ dx = x⁴ + C. מי שכתב 12x² גזר בטעות.
- מספר לבד נעלם. לא! בגזירה מספר נעלם, אבל באינטגרל הוא מקבל x: ∫3 dx = 3x + C.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
לחצו "הצעד הבא" ותראו איך מוצאים פונקציה קדומה שעוברת בנקודה נתונה.
תרגול: מוצאים את F
כל פעם תופיע פונקציה ונקודה שהפונקציה הקדומה עוברת בה. אפשר לכתוב שבר עם קו נטוי (1/2) או מספר עשרוני.
שאלות שכולם שואלים
מה זה פונקציה קדומה?
פונקציה קדומה של f היא פונקציה F שהנגזרת שלה היא f. למשל x³ היא פונקציה קדומה של 3x², כי (x³)′ = 3x². זו גזירה בכיוון ההפוך. ראו את זה במעבדה.
למה מוסיפים C באינטגרל?
כי הנגזרת של מספר היא 0. לכן x² + 1, x² ו-x² − 7 נגזרות כולן ל-2x. האות C מייצגת את כל המספרים האלה. אם נותנים נקודה שהגרף עובר בה, מציבים אותה ומוצאים את C.
איך עושים אינטגרל של x בחזקה?
מעלים את החזקה ב-1 ומחלקים בחזקה החדשה: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C. למשל ∫x³ dx = x⁴ ÷ 4 + C. מקדם שלפני ה-x נשאר ומתחלק גם הוא. תרגלו את זה.