מיריהתפלגות נורמלית עקומת הפעמון
גבהים, ציונים במבחן ארצי, משקל של תפוחים: הרבה נתונים מתרכזים סביב הממוצע, ומעט מאוד רחוקים ממנו. הצורה שמתקבלת היא פעמון. בעמוד הזה לומדים לקרוא אותו, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
שני מספרים מתארים את כל הפעמון
בטבלת שכיחויות ראינו עמודות. כשיש הרבה מאוד נתונים, העמודות נראות כמו עקומה חלקה. בהתפלגות נורמלית העקומה סימטרית, והשטח מתחתיה הוא 100%.
הממוצע μ
האמצע של הפעמון, הנקודה הכי גבוהה. חצי מהנתונים מתחתיו וחצי מעליו.
סטיית התקן σ
כמה הנתונים מפוזרים. σ קטנה: פעמון צר וגבוה. σ גדולה: פעמון רחב ונמוך.
ציון תקן z
כמה סטיות תקן ערך רחוק מהממוצע, ולאיזה כיוון.
z = (x − μ) ÷ σ
הכלל של 68, 95 ו-99.7: בכל התפלגות נורמלית, בערך כך מתחלקים הנתונים סביב הממוצע.
מעבדה: צובעים שטח מתחת לפעמון
שנו את הממוצע ואת סטיית התקן, ובחרו תחום. החלק הוורוד הוא אחוז הנתונים שנמצאים בתחום.
נסו את אלה:
הזיזו את σ עם הכפתור "μ ± σ": הפעמון משנה את הרוחב, אבל האחוז נשאר 68%. זה מה שהופך את ציון התקן לשימושי כל כך.
ארבע מלכודות
שוכחים לחלק ב-σ
ממוצע 70, סטיית תקן 10, ציון 90. 90 − 70 = 20 זה המרחק בנקודות, לא ציון התקן.
ציון התקן הוא 20 ÷ 10 = 2.
מוסיפים σ פעם אחת בלבד
"שתי סטיות תקן מעל הממוצע" זה μ + 2σ, לא μ + σ.
עם ממוצע 70 וסטיית תקן 10: 70 + 2 · 10 = 90.
הצד הלא נכון של הפעמון
"מעל μ + σ" זה הזנב הימני: 16%. ה-84% הם "מתחת".
בדקו תמיד: התחום שלכם גדול או קטן?
68% לצד אחד
68% הם שני הצדדים ביחד. בין הממוצע ל-μ + σ יש רק חצי: 34%.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
הגובה של תלמידים בשכבה מתפלג נורמלית, עם ממוצע 165 ס״מ וסטיית תקן 8 ס״מ. כמה אחוזים מהתלמידים גבוהים מ-157 ס״מ ונמוכים מ-181 ס״מ?
תרגול: חשבו בעצמכם
בשאלות על אחוזים השתמשו בכלל של 68, 95 ו-99.7, וכתבו את האחוז בלי הסימן %, למשל 47.5.
שאלות שכולם שואלים
מה זה התפלגות נורמלית?
התפלגות של נתונים שהגרף שלה הוא עקומת פעמון סימטרית. רוב הערכים קרובים לממוצע, וככל שמתרחקים ממנו יש פחות ערכים. שני מספרים קובעים את הפעמון: הממוצע μ וסטיית התקן σ. שחקו איתם במעבדה.
איך מחשבים ציון תקן?
מחסרים את הממוצע מהערך ומחלקים בסטיית התקן: z = (x − μ) ÷ σ. אם הממוצע 70 וסטיית התקן 10, לציון 85 יש z = 1.5. ציון תקן שלילי אומר שהערך מתחת לממוצע.
מה זה הכלל של 68, 95 ו-99.7?
בכל התפלגות נורמלית, בערך 68% מהנתונים נמצאים במרחק של סטיית תקן אחת מהממוצע, 95% במרחק של שתיים, ו-99.7% במרחק של שלוש. בגלל הסימטריה, בכל צד יש חצי מזה. ראו בדוגמה הפתורה.