מיריהתפלגות בינומית נוסחת ברנולי
מנחשים תשובות במבחן אמריקאי של 5 שאלות. מה הסיכוי לנחש נכון בדיוק 3? במקום לצייר עץ ענק, יש נוסחה אחת שסופרת את כל המסלולים. בעמוד הזה, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
אותו ניסוי, שוב ושוב
בעץ רב-שלבי חישבנו "לפחות פעם אחת" ו"בדיוק פעם אחת". עכשיו נשאל על בדיוק k הצלחות, לכל k.
מתי זה בינומי?
חוזרים על אותו ניסוי n פעמים. בכל פעם יש רק שתי תוצאות: הצלחה או כישלון.
הסיכוי להצלחה p זהה בכל פעם, והפעמים לא משפיעות זו על זו.
מסלול אחד
מסלול עם k הצלחות ו-n − k כישלונות.
הסיכוי שלו: pk · qn−k, כאשר q = 1 − p.
כמה מסלולים?
בכמה דרכים בוחרים באילו k פעמים הייתה הצלחה? זה המקדם הבינומי:
(nk) = n!k! (n − k)!
מעבדה: ההיסטוגרמה של ההצלחות
בחרו כמה פעמים חוזרים על הניסוי ומה הסיכוי להצלחה. כל עמודה היא הסיכוי למספר הצלחות אחר. בחרו k, ונסו גם "לפחות" ו"לכל היותר".
נסו את אלה:
שימו לב: העמודה הגבוהה נמצאת ליד n · p, הקו הכחול המקווקו. זה מספר ההצלחות הממוצע. כש-p = 0.5 ההיסטוגרמה סימטרית, וכש-p קטן היא נוטה לצד של מעט הצלחות.
שלוש מלכודות
שוכחים את המקדם
pk · qn−k הוא הסיכוי של מסלול אחד בלבד.
שתי הצלחות מתוך 4 יכולות לקרות ב-6 סדרים שונים, ולכן כופלים ב-(42) = 6.
"בדיוק" או "לפחות"
"לפחות 4 מתוך 5" זה גם 4 וגם 5. מחשבים שתי עמודות ומחברים.
"לפחות פעם אחת" עדיף מהסוף: 1 − qn.
לא כל ניסוי חוזר הוא בינומי
שולפים 3 כדורים מקופסה בלי להחזיר? הסיכוי משתנה אחרי כל שליפה, אז זה לא בינומי.
שם חוזרים לעץ ולהסתברות מותנית.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
במבחן אמריקאי יש 5 שאלות, ולכל שאלה 4 תשובות שרק אחת מהן נכונה. מנחשים בכל השאלות. מה הסיכוי לנחש נכון בדיוק 3 שאלות? ומה הסיכוי לנחש נכון לפחות 4?
תרגול: חשבו בעצמכם
כתבו את התשובה כשבר, למשל 45/512, או כמספר עשרוני עם שלוש ספרות אחרי הנקודה, למשל 0.088.
שאלות שכולם שואלים
מה זה התפלגות בינומית?
זו ההתפלגות של מספר ההצלחות כשחוזרים n פעמים על אותו ניסוי, עם שתי תוצאות בלבד וסיכוי קבוע p להצלחה, והפעמים לא תלויות זו בזו. למשל מספר העצים ב-10 הטלות מטבע. ראו את ההיסטוגרמה במעבדה.
מה זו נוסחת ברנולי?
הנוסחה לסיכוי לבדיוק k הצלחות מתוך n: P(X = k) = (nk) · pk · qn−k. המקדם סופר את המסלולים, והחזקות נותנות את הסיכוי של מסלול אחד.
איך מחשבים "לפחות" בהתפלגות בינומית?
מחברים את כל העמודות המתאימות. "לפחות 4 מתוך 5" הוא P(4) + P(5). כשיש הרבה עמודות לחבר, קל יותר לחשב את ההפך ולהוריד מ-1, למשל "לפחות פעם אחת" הוא 1 − qn. ראו בדוגמה הפתורה.