מיריהסתברות: עץ רב-שלבי ו"לפחות פעם אחת" מחשבים מהסוף
מטילים קובייה שלוש פעמים. מה הסיכוי שלפחות פעם אחת ייצא 6? יש כאן הרבה מסלולים, אבל יש דרך קצרה: מחשבים את ההפך ומורידים מ-1. בעמוד הזה, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
שלושה כלים לניסוי ארוך
בניסוי דו-שלבי ציירנו עץ עם שני שלבים. כשיש שלושה שלבים ויותר, העץ גדל מהר מאוד: 3 שלבים זה 8 מסלולים, ו-5 שלבים זה 32. לכן צריך עוד כלים.
כופלים לאורך מסלול
כשהשלבים לא משפיעים זה על זה, הסיכוי למסלול הוא מכפלת הסיכויים שלו.
שלוש פעמים "לא 6": 5/6 · 5/6 · 5/6
המאורע המשלים
המשלים של מאורע הוא "הוא לא קרה". הסיכויים של שניהם ביחד הם 1.
P(לא A) = 1 − P(A)
"לפחות פעם אחת"
ההפך של "לפחות פעם אחת" הוא "אף פעם". ל"אף פעם" יש מסלול אחד בלבד.
P = 1 − (1 − p)n
מעבדה: כמה ניסיונות צריך?
בחרו את הסיכוי להצלחה בפעם אחת, ואת מספר הפעמים. המסלול הכחול הוא "אף פעם לא הצלחתי". כל השאר הם "לפחות פעם אחת".
הצלחה כישלון
נסו את אלה:
שימו לב לעמודות: ככל שמנסים יותר פעמים, הסיכוי להצליח לפחות פעם אחת עולה, אבל אף פעם לא מגיע ל-1. גם אחרי 5 ניסיונות, עם סיכוי קטן, עדיין אפשר להיכשל בכולם.
שלוש מלכודות
מחברים במקום להשתמש במשלים
מטבע שלוש פעמים, "לפחות עץ אחד": ½ + ½ + ½ = 1.5?
הסתברות לא יכולה להיות יותר מ-1. התשובה הנכונה: 1 − ⅛ = ⅞.
המשלים הלא נכון
ההפך של "לפחות פעם אחת" הוא "אף פעם".
לא "בדיוק פעם אחת", ולא "לא בכל הפעמים". 1 − pn הוא הסיכוי שלא כל הפעמים הצליחו, וזו שאלה אחרת.
"בדיוק פעם אחת" יש כמה מסלולים
בשלוש הטלות, הצלחה אחת יכולה לקרות בפעם הראשונה, השנייה או השלישית.
מסלול אחד הוא p(1 − p)², ויש שלושה כאלה: 3p(1 − p)².
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
מטילים קובייה רגילה שלוש פעמים. מה הסיכוי שלפחות פעם אחת ייצא 6? ומה הסיכוי שבדיוק פעם אחת ייצא 6?
תרגול: חשבו בעצמכם
כתבו את התשובה כשבר, למשל 91/216, או כמספר עשרוני עם שתי ספרות אחרי הנקודה לפחות, למשל 0.42.
שאלות שכולם שואלים
איך מחשבים הסתברות של "לפחות פעם אחת"?
מחשבים את ההפך, "אף פעם", ומורידים מ-1. אם הסיכוי להצלחה בפעם אחת הוא p ומנסים n פעמים, אז P = 1 − (1 − p)n. בקובייה שלוש פעמים: 1 − (5/6)³ = 91/216. ראו בדוגמה הפתורה.
מה זה מאורע משלים?
המשלים של מאורע A הוא "A לא קרה". הסיכויים של מאורע ושל המשלים שלו מסתכמים ל-1, ולכן P(לא A) = 1 − P(A). משתמשים בו כשקל יותר לחשב את ההפך.
מתי כופלים הסתברויות ומתי מחברים?
לאורך מסלול אחד בעץ כופלים, כי צריך שכל השלבים יקרו. בין מסלולים שונים מחברים, כי מספיק שאחד מהם יקרה. לכן "בדיוק פעם אחת" בשלוש הטלות הוא שלושה מסלולים שמחברים. ראו את העץ במעבדה.