מירימעגל: משיקים, מרובע חסום ומשולש חסום שלושה משפטים שפותחים כל שאלה
משיק הוא ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד. יש לו שתי תכונות שמופיעות כמעט בכל שאלת מעגל. ומרובע שכל הקודקודים שלו על המעגל מקיים כלל אחד פשוט על הזוויות. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
שלושה משפטים
משיק מאונך לרדיוס
הרדיוס לנקודת ההשקה יוצר עם המשיק זווית של 90°. כך נוצרים משולשים ישרי זווית, ומשם פיתגורס.
שני משיקים מנקודה אחת
מנקודה P מחוץ למעגל יוצאים שני משיקים, והם שווים באורכם: PA = PB.
מרובע חסום במעגל
כשכל ארבעת הקודקודים על המעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180°.
מעבדה
נסו את אלה:
הגדילו את OP: המשיקים מתארכים, אבל הם תמיד שווים זה לזה. והזווית ב-A וב-B נשארת 90°.
שלוש מלכודות
היתר הוא OP
במשולש OAP הזווית הישרה היא ב-A. לכן היתר הוא OP, הקטע שמחבר את P למרכז.
PA² = OP² − R². לא חיבור.
זוויות נגדיות, לא שכנות
במרובע חסום, ∠A + ∠C = 180° ו-∠B + ∠D = 180°.
זוויות שכנות כמו A ו-B לא חייבות להשלים ל-180°.
זווית בין המשיקים
במרובע OAPB יש שתי זוויות ישרות. לכן ∠APB + ∠AOB = 180°.
זווית של 50° בין המשיקים נותנת זווית מרכזית של 130°, לא 100°.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול
כל פעם תופיע שאלה מסוג אחר. O הוא תמיד מרכז המעגל, ו-PA ו-PB הם משיקים.
שאלות שכולם שואלים
למה משיק מאונך לרדיוס?
משיק נוגע במעגל רק בנקודה אחת, וכל שאר הנקודות שלו מחוץ למעגל. לכן נקודת ההשקה היא הנקודה על הישר הכי קרובה למרכז. והקטע הכי קצר מנקודה לישר הוא תמיד הקטע המאונך. לכן הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק.
איך מחשבים אורך משיק מנקודה מחוץ למעגל?
מחברים את הנקודה P למרכז O ולנקודת ההשקה A. מקבלים משולש ישר זווית ב-A, עם יתר OP. לפי פיתגורס: PA = √(OP² − R²). למשל רדיוס 6 ומרחק 10 נותנים משיק של 8. נסו במעבדה.
מה התכונה של מרובע חסום במעגל?
סכום כל שתי זוויות נגדיות בו הוא 180°. זה נכון גם בכיוון ההפוך: אם במרובע יש שתי זוויות נגדיות שסכומן 180°, אפשר לחסום אותו במעגל. לכן כל מלבן אפשר לחסום במעגל, ומקבילית שאינה מלבן אי אפשר.