מיריחפיפת משולשים
שני משולשים חופפים אם הם בדיוק אותו משולש: אותן צלעות ואותן זוויות. אבל לא צריך לבדוק את כל השש. מספיקים שלושה נתונים נכונים, וכאן תלמדו אילו. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
ארבעה משפטי חפיפה
מה זה חופפים?
שני משולשים חופפים אם אפשר להניח אחד על השני כך שהם יתאימו בדיוק. מותר להזיז, לסובב ולהפוך.
כותבים △ABC ≅ △DEF. הסדר חשוב: A מתאים ל-D, B ל-E, ו-C ל-F.
אם המשולשים חופפים, כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות. כך מוכיחים ששתי צלעות או שתי זוויות שוות.
מה מספיק כדי לדעת?
מספיק שלושה נתונים שווים, אבל לא כל שלושה. צ = צלע, ז = זווית. האות האמצעית היא מה שנמצא בין השניים האחרים.
מעבדה: בונים משולש מנתונים
בחרו משפט והזיזו את הנתונים. בצד ימין המשולש שבניתם. בצד שמאל ניסיון שני לבנות משולש מאותם נתונים בדיוק. האם יוצא אותו משולש?
נסו את אלה:
ארבע מלכודות
הזווית חייבת להיות באמצע
בצ.ז.צ הזווית היא בין שתי הצלעות, בקודקוד שבו הן נפגשות. זווית אחרת זה כבר לא צ.ז.צ.
ז.ז.ז הוא לא משפט חפיפה
אותן זוויות, אבל אחד גדול ואחד קטן. הם דומים, לא חופפים. בלי אף צלע אי אפשר לדעת את הגודל.
צ.צ.ז רק מול הצלע הגדולה
אם הזווית מול הצלע הקטנה מבין השתיים, לפעמים יוצאים שני משולשים שונים. בדקו במעבדה עם "צ.צ.ז מול הצלע הקטנה".
הסדר של האותיות
ב-△ABC ≅ △DEF כל אות מתאימה לאות באותו מקום. לכן AC = DF, ולא AC = DE.
דוגמה פתורה: הוכחה צעד אחרי צעד
הקטעים AB ו-CD נחתכים בנקודה O, והיא האמצע של שניהם. הוכיחו ש-AC = BD.
| # | טענה | נימוק |
|---|
תרגול
הסימנים אומרים מה שווה: צלעות עם אותו מספר קווקווים שוות, וזוויות עם אותו מספר קשתות שוות. לפי איזה משפט המשולשים חופפים? ואולי אי אפשר לדעת?
בדלתון ABCD נתון: AB = AD, והאלכסון AC חוצה את הזווית A. הוכיחו ש-BC = DC. לחצו על השורות לפי הסדר הנכון. שימו לב: שורה אחת מיותרת.
| # | טענה | נימוק |
|---|
שאלות שכולם שואלים
מה ההבדל בין צ.ז.צ לז.צ.ז?
בצ.ז.צ יש שתי צלעות שוות, והזווית שביניהן. בז.צ.ז יש שתי זוויות שוות, והצלע שביניהן. האות האמצעית היא תמיד מה שנמצא באמצע. נסו את שניהם במעבדה למעלה.
למה ז.ז.ז הוא לא משפט חפיפה?
כי אפשר לצייר משולש גדול ומשולש קטן עם אותן שלוש זוויות בדיוק. הצורה זהה, אבל הגודל לא, אז הם לא חופפים. בתרגול למטה יש מקרים כאלה, והתשובה בהם היא "אי אפשר לדעת".
איך כותבים הוכחת חפיפה בצורה מסודרת?
בונים טבלה עם שתי עמודות: טענה ונימוק. כותבים את שלושת הדברים השווים, כל אחד עם הסיבה (נתון, צלע משותפת, זוויות קודקודיות). אחר כך כותבים שהמשולשים חופפים ואת שם המשפט, ובסוף את מה שרצו להוכיח: "צלעות מתאימות במשולשים חופפים". תרגלו בלשונית "סדרו הוכחה".