מירימעגל: זווית מרכזית, זווית היקפית ומיתרים חצי מהמרכזית, תמיד
במעגל יש זוויות שהקודקוד שלהן במרכז, וזוויות שהקודקוד שלהן על המעגל עצמו. יש ביניהן קשר פשוט: הזווית ההיקפית היא חצי מהזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
המילים של המעגל
מי זה מי
מיתר: קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל. קוטר הוא מיתר שעובר דרך המרכז.
קשת: חלק מהמעגל עצמו, בין שתי נקודות. כאן הקשת AB צבועה בוורוד.
שתי זוויות ומשפט אחד
זווית מרכזית (כחולה): הקודקוד במרכז O, והשוקיים הם רדיוסים.
זווית היקפית (ורודה): הקודקוד P על המעגל, והשוקיים הם מיתרים.
כששתיהן נשענות על אותה קשת, ההיקפית היא חצי מהמרכזית.
מעבדה: מזיזים את P על המעגל
הקשת AB בוורוד. שנו את גודל הקשת, והזיזו את הנקודה P על המעגל. מה קורה לזווית הוורודה?
נסו את אלה:
גלו בעצמכם: P זזה, אבל הזווית ההיקפית נשארת אותו דבר. וכש-AB קוטר, היא תמיד 90°.
שלוש מלכודות
חצי, לא כפול
הזווית המרכזית היא הגדולה. ההיקפית היא החצי שלה.
מרכזית 100°? ההיקפית 50°. היקפית 30°? המרכזית 60°.
רק על אותה קשת
המשפט עובד רק כששתי הזוויות "פתוחות" לאותה קשת.
בדקו: הקרניים של שתי הזוויות פוגעות במעגל באותן שתי נקודות, A ו-B.
איפה הקודקוד?
קודקוד במרכז = מרכזית. קודקוד על המעגל = היקפית.
זווית שהקודקוד שלה סתם בתוך המעגל היא לא זה ולא זה, והמשפט לא עובד עליה.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול: מצאו את הזווית הצהובה
O הוא מרכז המעגל. חשבו את הזווית הצהובה (במעלות).
שאלות שכולם שואלים
מה ההבדל בין זווית מרכזית לזווית היקפית?
בזווית מרכזית הקודקוד נמצא במרכז המעגל, והשוקיים הם רדיוסים. בזווית היקפית הקודקוד נמצא על המעגל עצמו, והשוקיים הם מיתרים. אם הן נשענות על אותה קשת, ההיקפית היא חצי מהמרכזית.
למה זווית היקפית שנשענת על קוטר שווה 90°?
קוטר הוא קשת של חצי מעגל, אז הזווית המרכזית שלו היא 180° (קו ישר). ההיקפית היא חצי ממנה: 180° : 2 = 90°. נסו במעבדה את "AB קוטר" והזיזו את P.
האם כל הזוויות ההיקפיות על אותה קשת שוות?
כן. כולן חצי מאותה זווית מרכזית, ולכן כולן שוות זו לזו. זה נכון כל עוד הקודקודים נמצאים באותו צד של המיתר AB.