מיריהנדסה אנליטית: מעגל מרכז, רדיוס ומשוואה אחת
מעגל הוא כל הנקודות שנמצאות באותו מרחק מהמרכז. מהרעיון הפשוט הזה יוצאת משוואת המעגל. כאן תלמדו לקרוא ממנה את המרכז והרדיוס, לכתוב אותה בעצמכם, ולבדוק איפה נקודה נמצאת. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
מאיפה באה המשוואה
מרחק קבוע מהמרכז
המרכז הוא (a, b) והרדיוס הוא R. נקודה (x, y) על המעגל רחוקה מהמרכז בדיוק R.
כותבים את נוסחת המרחק, מעלים בריבוע כדי להיפטר מהשורש, ומקבלים:
קוראים את המשוואה
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
המרכז הוא (2, −1). שימו לב: +1 בסוגריים אומר b = −1.
הרדיוס הוא √9 = 3, ולא 9.
מעבדה: בנו מעגל
קבעו את המרכז והרדיוס, וראו איך המשוואה משתנה. אחר כך הזיזו את הנקודה הכחולה P ובדקו אם היא בתוך המעגל, עליו או מחוצה לו.
נסו את אלה:
שימו לב: כש-P על המעגל, הקו הכחול מהמרכז ל-P שווה בדיוק לרדיוס.
שלוש מלכודות
הסימן של המרכז
במשוואה כתוב מינוס a. לכן (x + 4)² אומר a = −4.
טיפ: המרכז הוא המספר שמאפס את הסוגריים. x + 4 = 0 כש-x = −4.
R או R²?
בצד ימין כתוב R². אם כתוב 16, הרדיוס הוא 4.
ולהפך: רדיוס 5 נותן 25 בצד ימין, לא 5.
משוואה פתוחה
x² + y² − 6x + 2y = 6 היא גם מעגל, רק בלי סוגריים.
משלימים לריבוע: מוסיפים 9 ו-1 לשני האגפים. מי שמוסיף רק לצד אחד מקבל רדיוס לא נכון.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול
כל פעם תופיע שאלה מסוג אחר: למצוא מרכז ורדיוס, למצוא R², או לבדוק איפה נקודה נמצאת.
שאלות שכולם שואלים
איך מוצאים מרכז ורדיוס ממשוואת מעגל?
כשהמשוואה בצורה (x − a)² + (y − b)² = R², המרכז הוא (a, b) עם סימן הפוך למה שכתוב בסוגריים, והרדיוס הוא השורש של המספר בצד ימין. אם המשוואה פתוחה, קודם משלימים לריבוע.
איך בודקים אם נקודה נמצאת על המעגל?
מציבים את הנקודה במשוואה. אם שני הצדדים שווים, היא על המעגל. אם צד שמאל קטן מ-R², היא בתוכו, ואם גדול, היא מחוצה לו. נסו במעבדה עם הנקודה P.
איך מוצאים משוואת משיק למעגל בנקודה?
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. מחשבים את שיפוע הרדיוס מהמרכז לנקודה, הופכים אותו ומחליפים סימן, ומציבים את הנקודה כדי למצוא את b. על משיקים בגאומטריה יש עמוד משלו: משיקים ומרובע חסום.