מיריהנדסה אנליטית: ישר גאומטריה עם מספרים
בהנדסה אנליטית פותרים שאלות על משולשים ומרובעים בעזרת שיעורי הנקודות. ארבעה כלים עושים את רוב העבודה: מרחק בין נקודות, אמצע קטע, ישרים מקבילים וישרים מאונכים. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
ארבעת הכלים
מרחק בין שתי נקודות
זה בעצם משפט פיתגורס. ההפרש ב-x הוא ניצב אחד, ההפרש ב-y הוא הניצב השני, והמרחק הוא היתר.
אמצע קטע
האמצע הוא הממוצע של ה-x והממוצע של ה-y. כאן מחברים, לא מחסרים.
ישרים מקבילים
לישרים מקבילים יש אותו שיפוע. רק ה-b שונה.
y = 2x + 1 מקביל ל-y = 2x − 4.
ישרים מאונכים
מכפלת השיפועים היא −1. הופכים את השבר ומחליפים סימן.
m₁ = 2, אז m₂ = −½, כי 2 · (−½) = −1.
מעבדה: קטע, אמצע ואנך
הזיזו את A ואת B. הנקודה הצהובה היא אמצע הקטע, והקו הכחול המקווקו הוא האנך האמצעי: הוא עובר באמצע ומאונך לקטע.
נסו את אלה:
שימו לב: כל נקודה על האנך האמצעי רחוקה באותה מידה מ-A ומ-B. ובדקו שמכפלת השיפועים תמיד יוצאת −1.
שלוש מלכודות
אמצע: מחברים
בשיפוע ובמרחק מחסרים. באמצע מחברים ומחלקים ב-2.
A (1, 2) ו-B (5, 8): האמצע הוא (3, 5), לא (2, 3).
לא לשכוח את השורש
3² + 4² = 25 זה עוד לא המרחק. המרחק הוא √25 = 5.
ומינוס בהפרש לא מפריע: (−3)² = 9, כמו 3².
מאונך: שני שינויים
שיפוע 3? המאונך הוא −⅓. גם הופכים וגם מחליפים סימן.
−3 זה רק הפוך בסימן, ו-⅓ זה רק הפוך בשבר. שניהם טעות.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול
כל פעם תופיע שאלה מסוג אחר: מרחק, אמצע, נקודת קצה או שיפוע של ישר מאונך. שבר כותבים עם קו נטוי, למשל -1/2. שורש אפשר לכתוב כ-√20 או כמספר עשרוני.
שאלות שכולם שואלים
איך מחשבים מרחק בין שתי נקודות?
מחסרים את ה-x, מחסרים את ה-y, מעלים כל הפרש בריבוע, מחברים ומוציאים שורש. למשל בין (1, 1) ל-(4, 5): √(3² + 4²) = √25 = 5. זה משפט פיתגורס על המשולש שההפרשים יוצרים.
איך יודעים ששני ישרים מאונכים?
כופלים את השיפועים. אם יוצא −1, הישרים מאונכים. למשל 2 ו-−½. יוצא דופן: ישר אנכי וישר אופקי מאונכים, אף שלישר האנכי אין שיפוע.
איך מוצאים את אמצע הקטע?
מחברים את שני ה-x ומחלקים ב-2, ואותו דבר עם ה-y. בין (−2, 3) ל-(4, 7) האמצע הוא (1, 5). נסו במעבדה ותראו את הנקודה הצהובה זזה.