מיריהסתברות מותנית כשכבר יודעים משהו
בוחרים תלמיד אקראי. מה הסיכוי שהוא מתאמן בספורט? ומה הסיכוי, אם כבר ידוע לנו שהוא מנגן? המידע הנוסף משנה את התשובה. בעמוד הזה, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
העולם מצטמצם
בעץ רב-שלבי כבר ראינו שהסתברות של שלב יכולה להיות תלויה במה שקרה קודם. עכשיו נותנים לזה שם ונוסחה.
"בתנאי ש..."
הסימן P(A | B) קוראים: הסיכוי ל-A בתנאי ש-B קרה.
מה שאחרי הקו הוא מה שכבר ידוע.
סופרים רק בתוך B
אם ידוע ש-B קרה, כל מי שלא ב-B יוצא מהמשחק. סופרים מתוך B כמה הם גם A.
P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
בלתי תלויים
אם המידע על B לא משנה את הסיכוי ל-A, המאורעות בלתי תלויים.
P(A | B) = P(A), ואז גם P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
מעבדה: בוחרים תנאי
בשכבה יש תלמידים. A: מתאמנים בספורט. B: מנגנים על כלי. שנו את המספרים בטבלה, ובחרו מה ידוע. מה שמחוץ לתנאי מחוויר.
נסו את אלה:
שימו לב: P(A | B) ו-P(B | A) סופרים את אותו תא למעלה, אבל מחלקים בקבוצה אחרת. לכן הם בדרך כלל שונים.
שלוש מלכודות
מחלקים בכולם
"מתוך המנגנים, כמה מתאמנים?" מחלקים במספר המנגנים, לא במספר כל התלמידים.
חלוקה בכולם נותנת P(A ∩ B), שאלה אחרת.
הופכים את הכיוון
P(A | B) ≠ P(B | A).
הסיכוי שמי שמנגן גם מתאמן, הוא לא הסיכוי שמי שמתאמן גם מנגן. בדקו מה אחרי הקו: זה מה שמחלקים בו.
זרים זה לא בלתי תלויים
מאורעות זרים לא יכולים לקרות ביחד. אז אם B קרה, הסיכוי ל-A הוא 0.
זה מידע חזק מאוד, ולכן זרים (עם סיכוי חיובי) הם דווקא תלויים.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
בסקר השתתפו 200 תלמידים. 80 מהם קוראים ספרים, ו-50 מהקוראים גם כותבים יומן. בסך הכול 70 תלמידים כותבים יומן. בוחרים תלמיד אקראי.
תרגול: חשבו בעצמכם
כתבו את התשובה כשבר, למשל 3/8, או כמספר עשרוני עם שתי ספרות אחרי הנקודה לפחות, למשל 0.38.
שאלות שכולם שואלים
מה זה הסתברות מותנית?
זה הסיכוי שמאורע A יקרה, כשכבר ידוע שמאורע B קרה. כותבים P(A | B) ומחשבים P(A ∩ B) ÷ P(B). בטבלה: סופרים רק בתוך הקבוצה של B. נסו במעבדה.
איך יודעים אם שני מאורעות בלתי תלויים?
בודקים אם P(A | B) = P(A), או אם P(A ∩ B) = P(A) · P(B). אם השוויון מתקיים, המידע על B לא משנה כלום, והם בלתי תלויים.
מה ההבדל בין P(A|B) לבין P(B|A)?
שניהם מתחילים מאותו "גם וגם", אבל מחלקים בקבוצה אחרת. ב-P(A | B) מחלקים ב-P(B), וב-P(B | A) מחלקים ב-P(A). ראו במלכודות.