מיריטריגונומטריה במרחב מוצאים את המשולש
בתיבה ובפירמידה כל שאלה על אורך או על זווית חוזרת לאותו דבר: מוצאים משולש ישר זווית שמסתתר בתוך הגוף, ופותרים אותו עם פיתגורס ועם sin, cos ו-tan. בעמוד הזה לומדים לראות את המשולש הזה, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
משולש ישר זווית בתוך הגוף
אלכסון הבסיס
בבסיס של תיבה, שהוא מלבן, האלכסון AC הוא יתר במשולש ישר זווית:
AC = √(a² + b²)
האלכסון של התיבה
המקצוע CG עומד ישר מעל C, ולכן ACG הוא משולש ישר זווית:
AG = √(a² + b² + c²)
זווית בין ישר למישור
הזווית בין AG לבסיס היא הזווית בין AG לבין ההיטל שלו על הבסיס, AC.
tan α = c ÷ AC
מעבדה: בונים גוף ומוצאים את המשולש
בחרו תיבה או פירמידה ושנו את המידות. המשולש הצהוב הוא המשולש הישר זווית שבו פותרים. הקו הכחול שוכב על הבסיס, והקו הוורוד הוא הקו שאת הזווית שלו מחפשים.
נסו את אלה:
גלו משהו: בקובייה הזווית בין האלכסון לבסיס היא תמיד בערך 35.3°, בלי קשר לגודל הקובייה. נסו כמה גדלים.
שלוש מלכודות
משתמשים במקצוע במקום בהיטל
הזווית של AG עם הבסיס היא מול AC, האלכסון של הבסיס.
לא tan α = c ÷ a. זו הזווית של קו אחר.
חצי צלע או חצי אלכסון?
בפירמידה, מהמרכז O לאמצע צלע יש s ÷ 2.
מהמרכז לקודקוד יש חצי אלכסון: s√2 ÷ 2. הפאה משתמשת בראשון, המקצוע בשני.
הזווית המשלימה
במשולש הישר זווית יש שתי זוויות חדות. בדקו שהזווית שחישבתם היא זו שליד הבסיס.
אם קיבלתם 90° − α, בחרתם את הזווית שלמעלה.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
חלק א: בתיבה 6 × 8 × 10 מצאו את האלכסון ואת הזווית שלו עם הבסיס. חלק ב: בפירמידה ריבועית שצלע הבסיס שלה 8 והגובה 3, מצאו את הזווית בין פאה צדדית לבסיס.
תרגול: מצאו את המשולש
עגלו אורכים לשתי ספרות אחרי הנקודה, וזוויות לספרה אחת. כתבו מספר בלבד, בלי סימן מעלות.
שאלות שכולם שואלים
איך מחשבים את האלכסון של תיבה?
מחשבים קודם את אלכסון הבסיס, √(a² + b²), ואז משתמשים בפיתגורס שוב עם הגובה. בקיצור: √(a² + b² + c²). בתיבה 3 × 4 × 12 האלכסון הוא √169 = 13.
איך מוצאים זווית בין ישר למישור?
מורידים אנך מנקודה על הישר אל המישור, ומחברים את נקודת הפגישה לנקודה שבה הישר חותך את המישור. זה ההיטל. הזווית בין הישר להיטל שלו היא הזווית בין הישר למישור. ראו את זה במעבדה.
מה ההבדל בין זווית של מקצוע צדדי לזווית של פאה צדדית בפירמידה?
בשתיהן הגובה הוא אותו ניצב. במקצוע הצדדי הניצב השני הוא חצי אלכסון הבסיס, s√2 ÷ 2. בפאה הצדדית הוא חצי צלע, s ÷ 2. לכן הזווית של הפאה תמיד גדולה יותר.