מיריישרים ומישורים במרחב נפגשים, מקבילים או מצטלבים?
במישור שני ישרים או שנפגשים או שהם מקבילים. במרחב יש אפשרות שלישית: הם עוברים אחד ליד השני ולא נפגשים לעולם. בעמוד הזה כותבים ישר בעזרת נקודה ווקטור כיוון, כותבים מישור בעזרת וקטור נורמל (כאן עוזרת המכפלה הסקלרית), ובודקים איך ישרים ומישורים נפגשים. לרמת 5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
נקודה, כיוון ונורמל
ישר: נקודה ועוד כיוון
מתחילים בנקודה A וזזים בכיוון של וקטור u. כל מספר t נותן נקודה אחרת על הישר:
ℓ: A + t·u
למשל (1, 2, 0) + t(2, 1, 3). ב-t = 0 מקבלים את A עצמה.
מישור: וקטור שמאונך לו
וקטור הנורמל n = (a, b, c) מאונך לכל המישור. ממנו מקבלים את המשוואה:
ax + by + cz = d
את d מוצאים בהצבה של נקודה אחת שעל המישור.
ארבעה מצבים לשני ישרים
נחתכים: יש נקודה אחת משותפת.
מקבילים: אותו כיוון, בלי נקודה משותפת.
מתלכדים: זה בעצם אותו ישר.
מצטלבים: כיוונים שונים, ובכל זאת לא נפגשים. זה קורה רק במרחב.
מעבדה: ישרים ומישורים בתלת ממד
בחרו מה לראות. המחוון t מזיז את הנקודה P על הישר הוורוד. הקווים המקווקווים יורדים מ-P אל הרצפה, כדי שיהיה קל לראות איפה היא במרחב.
וקטור הכיוון u, מהנקודה A = (1, 2, 1):
נסו את אלה:
גלו משהו: במצב "מצטלבים" הישרים נראים בציור כאילו הם נפגשים. הזיזו את t ותראו שהנקודה הוורודה עוברת מעל הישר הכחול, לא דרכו. ציור לבד לא מספיק, צריך חשבון.
שלוש מלכודות
אותו פרמטר לשני הישרים
כשמשווים שני ישרים, לכל אחד יש פרמטר משלו: t לראשון ו-s לשני.
אם כותבים t בשניהם, מחפשים נקודה שמגיעים אליה באותו "זמן", ומפספסים חיתוך שקיים.
בודקים רק שתי קואורדינטות
משתי משוואות מוצאים t ו-s. זה עוד לא חיתוך.
חייבים להציב בקואורדינטה השלישית. אם היא לא מתקיימת, הישרים מצטלבים.
מקבילים או מתלכדים?
כיוונים פרופורציונליים לא מספיקים כדי להחליט.
בודקים אם נקודה של ישר אחד יושבת על השני. אם כן, זה אותו ישר. אם לא, הם מקבילים.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
חלק א: מה המצב ההדדי של ℓ₁: (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) ו-ℓ₂: (3, 0, 4) + s(0, 1, −1)? חלק ב: איפה הישר t(1, 2, 1) חותך את המישור x + y + z = 6?
תרגול: ישרים ומישורים
כל התשובות הן מספרים שלמים. מספר שלילי כותבים עם מינוס, למשל −2.
שאלות שכולם שואלים
מה זה ישרים מצטלבים?
שני ישרים במרחב שהכיוונים שלהם שונים, ובכל זאת אין להם נקודה משותפת. הם לא מקבילים ולא נחתכים, אלא עוברים אחד מעל השני. למשל קו על הרצפה וקו על התקרה שהולך לכיוון אחר. במישור זה לא יכול לקרות.
איך בודקים אם שני ישרים במרחב נחתכים?
קודם בודקים שהכיוונים לא פרופורציונליים. אחר כך משווים A + t·u = B + s·v, פותרים את t ו-s משתי קואורדינטות, ומציבים בשלישית. אם היא מתקיימת, הישרים נחתכים. אם לא, הם מצטלבים.
איך מוצאים נקודת חיתוך של ישר ומישור?
כותבים את x, y ו-z של הישר בעזרת t, ומציבים במשוואת המישור. מקבלים משוואה עם נעלם אחד, t. מציבים את t שמצאתם בחזרה בישר, ומקבלים את הנקודה. אם t נעלם מהמשוואה, הישר מקביל למישור או מוכל בו.