כיתה יב · וקטורים

מכפלה סקלרית וזווית בין וקטורים מספר אחד שיודע הכול על הזווית

כופלים שני וקטורים ומקבלים מספר, לא וקטור. המספר הזה מגלה את הזווית ביניהם, ואומר מיד אם הם ניצבים. כדאי להכיר קודם חיבור וחיסור של וקטורים. החומר מתאים ל-4 ול-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.

שתי דרכים לאותו מספר

לפי השיעורים

כופלים x ב-x, y ב-y, ומחברים. במרחב מוסיפים גם z ב-z.

u·v = u₁v₁ + u₂v₂

לפי הזווית

כופלים את שני האורכים בקוסינוס של הזווית שביניהם.

u·v = |u|·|v|·cos θ

הסימן מספר על הזווית

חיובי: הזווית חדה. אפס: הווקטורים ניצבים. שלילי: הזווית קהה.

הסיבה: האורכים תמיד חיוביים, אז את הסימן קובע cos θ.

וככה מוצאים את הזווית

משווים את שתי הדרכים ומחלקים באורכים:

cos θ = u·v|u|·|v|

האורך של וקטור הוא פיתגורס על השיעורים: |(3, 4)| = √(3² + 4²) = 5. במרחב יש שלושה ריבועים מתחת לשורש.

מעבדה: מסובבים שני וקטורים

קבעו לכל וקטור אורך וכיוון. בקופסה מחשבים את המכפלה בשתי הדרכים, ורואים שיוצא אותו מספר. הקטע הצהוב הוא ההיטל של v על הישר של u: הצל שלו.

האורך של u הכיוון של u האורך של v הכיוון של v

נסו את אלה:

שימו לב: כשהזווית עוברת את 90°, ההיטל קופץ לצד השני של u (על הקו המקווקו), והמכפלה נהיית שלילית. ב-90° בדיוק אין צל בכלל, והמכפלה 0.

שלוש מלכודות

התשובה היא מספר

(2, 1)·(3, 4) = 6 + 4 = 10. לא כותבים (6, 4). מכפלה סקלרית תמיד נותנת מספר אחד.

x עם x, y עם y

כופלים שיעורים תואמים. (2, 1)·(3, 4) זה לא 2·4 + 1·3.

ומינוס כפול מינוס נותן פלוס: (−2)·(−3) = 6.

cos שלילי? זווית קהה

cos θ = −0.5 נותן θ = 120°, לא 60°. אל תזרקו את המינוס.

ובדקו שהמחשבון במעלות (DEG). אחרת יוצא מספר כמו 2.09.

דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד

תרגול

כל פעם תופיע שאלה מסוג אחר: מכפלה סקלרית (לפעמים במרחב), הזווית בין וקטורים, או פרמטר שעושה וקטורים ניצבים. זווית כותבים במעלות, מעוגלת למספר שלם.

שאלות שכולם שואלים

מה זה מכפלה סקלרית?

זו פעולה על שני וקטורים שנותנת מספר. כופלים את השיעורים התואמים ומחברים: (2, 1)·(3, 4) = 6 + 4 = 10. אותו מספר יוצא גם מאורך כפול אורך כפול הקוסינוס של הזווית ביניהם.

איך מוצאים את הזווית בין שני וקטורים?

מחשבים את המכפלה הסקלרית ואת שני האורכים, ומחלקים: cos θ = 5 : (√5·√10) ≈ 0.707. אחר כך מוצאים את הזווית במחשבון, במעלות: כאן θ = 45°. אם הקוסינוס שלילי, הזווית קהה.

איך יודעים ששני וקטורים ניצבים?

בודקים אם המכפלה הסקלרית שלהם היא 0. למשל (2, 1)·(2, −4) = 4 − 4 = 0, ולכן הם ניצבים. כך גם מוצאים פרמטר: משווים את המכפלה ל-0 ופותרים. נסו במעבדה את הכפתור של 90°.