מירימספרים מרוכבים: i וההצגה האלגברית שורש של מספר שלילי
למשוואה x² = −1 אין פתרון בין המספרים שהכרתם. אז ממציאים מספר חדש, i, שהריבוע שלו הוא −1. בעזרתו כל משוואה ריבועית נפתרת. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
מספר עם שני חלקים
המספר i
i² = −1. זה כל מה שצריך לזכור.
ומכאן: √−9 = 3i, כי (3i)² = 9i² = −9.
החזקות של i חוזרות במחזור של 4: i, −1, −i, 1.
הצגה אלגברית
כל מספר מרוכב נכתב כך: z = a + bi.
a הוא החלק הממשי ו-b הוא החלק המדומה.
במישור גאוס המספר הוא הנקודה (a, b): ממשי על הציר האופקי, מדומה על האנכי.
הצמוד
הצמוד של a + bi הוא a − bi. במישור זה שיקוף בציר הממשי.
מספר כפול הצמוד שלו יוצא ממשי: (a + bi)(a − bi) = a² + b².
בזה משתמשים כדי לחלק.
מעבדה: מספרים במישור גאוס
בחרו פעולה והזיזו את המחוונים של z ושל w. התוצאה מופיעה בירוק, ובתיבה רואים איך מחשבים אותה.
נסו את אלה:
שימו לב לכפל ב-i: הנקודה מסתובבת ב-90° נגד כיוון השעון. על הסיבוב הזה בונים את ההצגה הקוטבית.
שלוש מלכודות
i² הוא מינוס
בכפל (2 + 3i)(1 + 4i) יוצא האיבר 12i².
הוא שווה −12, לא +12. זו הטעות הנפוצה ביותר.
כל איבר בכל איבר
לא כופלים רק ממשי בממשי ומדומה במדומה.
(a + bi)(c + di) נותן ארבעה איברים, כמו בכפל של שני סוגריים רגילים.
חילוק בעזרת הצמוד
כופלים גם את המונה וגם את המכנה בצמוד של המכנה. אחרת השבר משתנה.
המכנה הופך ל-c² + d², עם פלוס.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול
כתבו את התשובה בצורה a + bi: את החלק הממשי בתיבה אחת ואת החלק המדומה בשנייה (בלי ה-i). אם חלק הוא 0, כתבו 0.
שאלות שכולם שואלים
מה זה i במתמטיקה?
i הוא המספר שהריבוע שלו הוא −1. בעזרתו מוציאים שורש ממספר שלילי: √−16 = 4i. כל מספר מרוכב נכתב בצורה a + bi, עם חלק ממשי וחלק מדומה.
איך מחלקים מספרים מרוכבים?
כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה. המכנה הופך למספר ממשי, c² + d², ואז מחלקים כל חלק בנפרד. למשל (3 + 4i) : (1 − 2i) = −1 + 2i.
מה זה המספר הצמוד?
הצמוד של a + bi הוא a − bi: אותו חלק ממשי, חלק מדומה עם סימן הפוך. במישור גאוס זה שיקוף בציר הממשי, ומספר כפול הצמוד שלו תמיד נותן מספר ממשי חיובי.