מיריאינטגרל מסוים ושטח בין עקומות כמה צבע צריך כדי למלא את זה?
אינטגרל מסוים הוא מספר, לא פונקציה. הוא מודד את השטח שבין הגרף לציר x, בין שני גבולות. נראה איך מלבנים צרים ממלאים את השטח, איך הפונקציה הקדומה נותנת את התשובה המדויקת, ואיך מחשבים שטח בין שני גרפים. החומר מתאים ל-4 ול-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: שטח מתחת לגרף
ממלאים במלבנים
קשה למדוד שטח עם צד עקום. אבל שטח של מלבן קל: רוחב כפול גובה. מחלקים את השטח להרבה מלבנים צרים ומחברים.
ככל שהמלבנים צרים יותר, הסכום קרוב יותר לשטח האמיתי. הגבול של הסכום הזה הוא האינטגרל המסוים.
הקיצור: פונקציה קדומה
לא צריך לחבר מלבנים בכל פעם. אם F היא פונקציה קדומה של f, אז:
∫ba f(x) dx = F(b) − F(a)
מציבים את הגבול העליון, מחסירים את התחתון. ה-C מתבטל, ולכן לא כותבים אותו.
דוגמה: ∫30 x² dx = 9 − 0 = 9, כי F(x) = x³ ÷ 3.
מעבדה: מלבנים שמתקרבים לתשובה
בחרו מצב ופונקציה. הזיזו את הגבולות a ו-b, ואת מספר המלבנים n. ראו איך סכום המלבנים מתקרב לאינטגרל.
נסו את אלה:
מלבן צהוב נספר בפלוס, מלבן כחול (מתחת לציר) נספר במינוס. לכן אינטגרל יכול לצאת שלילי, או אפילו 0, גם כשיש שטח צבוע.
מלכודות שכולם נופלים בהן
- הסדר הפוך. תמיד F(b) − F(a): העליון פחות התחתון. אם הופכים, התשובה יוצאת עם סימן הפוך.
- שטח מתחת לציר יוצא שלילי. אינטגרל של פונקציה שלילית הוא מספר שלילי, אבל שטח הוא תמיד חיובי. כשהגרף חוצה את הציר, מחלקים לחלקים בנקודות החיתוך, ולוקחים ערך מוחלט לכל חלק.
- בין שני גרפים: מי למעלה? מחסירים את התחתון מהעליון. כדי לדעת מי למעלה, הציבו נקודה אחת בין נקודות החיתוך בשתי הפונקציות.
- שוכחים למצוא את הגבולות. בשטח בין גרפים, הגבולות הם נקודות החיתוך. פותרים f(x) = g(x) לפני שעושים אינטגרל.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
לחצו "הצעד הבא" ותראו איך מחשבים שטח בין פרבולה לישר.
תרגול: אינטגרלים ושטחים
כל פעם יופיע אינטגרל לחשב או שטח למצוא. אפשר לכתוב שבר עם קו נטוי (32/3) או מספר עשרוני עם שתי ספרות אחרי הנקודה.
שאלות שכולם שואלים
מה ההבדל בין אינטגרל מסוים לאינטגרל לא מסוים?
אינטגרל לא מסוים הוא משפחה של פונקציות, ולכן יש בו + C. אינטגרל מסוים, עם גבולות a ו-b, הוא מספר אחד: F(b) − F(a). כשהפונקציה חיובית, המספר הזה הוא השטח מתחת לגרף. ראו את זה במעבדה.
איך מחשבים שטח בין שני גרפים?
מוצאים את נקודות החיתוך, ובודקים איזה גרף עליון. אחר כך מחשבים אינטגרל של העליון פחות התחתון, בין נקודות החיתוך. למשל השטח בין 4 − x² ל-x + 2 הוא 4.5. ראו את הדוגמה הפתורה.
למה יצא לי אינטגרל שלילי?
כי הגרף נמצא מתחת לציר x בחלק מהתחום, ושם האינטגרל נספר במינוס. אם השאלה מבקשת שטח, חלקו את התחום בנקודות שבהן הגרף חוצה את הציר, חשבו כל חלק לבד, וחברו את הערכים המוחלטים.