מירינפח גוף סיבוב שטח שמסתובב הופך לגוף
לוקחים את השטח שמתחת לגרף ומסובבים אותו סביב ציר x, כמו בכד שמסתובב על אובניים. יוצא גוף עגול, ואת הנפח שלו מחשבים באינטגרל. זה נושא של 5 יח״ל, והוא נבנה על האינטגרל המסוים. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הגוף בנוי מהמון מטבעות דקים
חותכים לפרוסות
חותכים את הגוף לפרוסות דקות, כמו נקניק. כל פרוסה היא כמעט גליל נמוך, כמו מטבע.
נפח של מטבע אחד
הרדיוס של המטבע הוא הגובה של הגרף, f(x). העובי הוא Δx.
π · f(x)² · Δx
מחברים את כולם
כשהפרוסות נעשות דקות מאוד, הסכום הופך לאינטגרל:
V = π ∫ab f(x)² dx
מעבדה: בונים את הגוף ממטבעות
בחרו פונקציה וגבולות. הקו הוורוד הוא הגרף, והקו המקווקו הוא אותו גרף אחרי חצי סיבוב. המטבעות הכחולים ממלאים את הגוף. הגדילו את מספר המטבעות וראו איך הסכום שלהם מתקרב לנפח המדויק.
נסו את אלה:
גלו משהו: סובבו את y = 2 מ-0 עד 3 עם מטבע אחד. יוצא בדיוק הנפח של גליל, πr²h, כי הגרף ישר ואין מה לתקן.
שלוש מלכודות
שוכחים להעלות בריבוע
הנפח הוא π∫f², לא π∫f.
הרדיוס של המטבע הוא f(x), ושטח עיגול הוא πr². מכאן הריבוע.
שוכחים את π
האינטגרל לבד נותן רק את החלק שבלי π. בסוף תמיד כופלים ב-π.
אם יצא 8, הנפח הוא 8π ≈ 25.13.
שטח בין שני גרפים
כשמסובבים שטח בין f (למעלה) ל-g (למטה), יוצא גוף עם חור.
V = π∫(f² − g²)dx, ולא π∫(f − g)²dx.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
מסובבים סביב ציר x את השטח שבין הגרף של y = √x, ציר x והישר x = 4. מה הנפח?
תרגול: חשבו בעצמכם
בכל שאלה מסובבים סביב ציר x את השטח שבין הגרף, ציר x והגבולות. כתבו את המספר שמוכפל ב-π. למשל, אם הנפח הוא 8π, כתבו 8. אפשר לכתוב שבר, כמו 32/5.
שאלות שכולם שואלים
מה הנוסחה לנפח גוף סיבוב?
כשמסובבים סביב ציר x את השטח שמתחת לגרף של f, בין x = a ל-x = b, הנפח הוא V = π∫f(x)²dx מ-a עד b. מעלים בריבוע, מוצאים פונקציה קדומה, מציבים גבולות וכופלים ב-π. ראו בדוגמה הפתורה.
למה מעלים את הפונקציה בריבוע?
כי הגוף בנוי ממטבעות דקים. הרדיוס של כל מטבע הוא הגובה של הגרף, ושטח עיגול הוא π כפול הרדיוס בריבוע. לכן כל מטבע תורם בערך πf²Δx. ראו את המטבעות במעבדה.
איך מחשבים נפח גוף סיבוב בין שני גרפים?
מחסרים את הנפח של הגוף הפנימי מהנפח של הגוף החיצוני: V = π∫(f² − g²)dx, כאשר f הוא הגרף העליון. שימו לב: מעלים כל פונקציה בריבוע לחוד, ולא את ההפרש.