מיריפונקציה מעריכית כל צעד כופל באותו מספר
ב-y = 2x ה-x נמצא במעריך, למעלה. כל צעד ימינה כופל את y ב-2, ולכן הגרף מתחיל לאט ואז עף למעלה. לומדים מתי הגרף עולה ומתי יורד, מה זו האסימפטוטה, מה זה המספר e, ואיך פותרים משוואה מעריכית. נושא של כיתה יב, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: y = ax
בסיס גדול מ-1: גדילה
ב-2x כל צעד ימינה מכפיל את y. שמאלה הוא מתחלק ב-2, מתקרב ל-0 ואף פעם לא מגיע.
בסיס בין 0 ל-1: דעיכה
ב-(½)x כל צעד ימינה מחלק את y ב-2. הגרף יורד ומתקרב ל-0 מימין.
המספר e הוא בסיס מיוחד, e ≈ 2.718. בגרף של ex השיפוע בכל נקודה שווה לגובה שלה, ולכן הוא מופיע בכל מקום בכיתה יב.
מעבדה: שנו את הבסיס
הזיזו את הבסיס ותראו מתי הגרף עולה ומתי יורד. אחר כך הזיזו אותו ימינה, שמאלה, למעלה ולמטה. הקו הכחול המקווקו הוא האסימפטוטה.
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- במעריך או בחוץ? 2x + 3 זה הגרף של 2x מוזז 3 למעלה. 2x + 3 זה אותו גרף מוזז 3 שמאלה. בדקו איפה כתוב ה-3.
- 2·3x הוא לא 6x. קודם מחשבים את החזקה, ורק אחר כך כופלים. ב-x = 2: 2·3² = 18, אבל 6² = 36.
- הבסיס חייב להיות חיובי. (−2)x לא פונקציה מעריכית: ב-x = ½ צריך שורש של מספר שלילי. ובסיס 1 נותן תמיד 1, קו ישר.
- אין פתרון ל-2x = 0 או ל-2x = −4. הגרף תמיד מעל ציר x, אז חזקה של מספר חיובי אף פעם לא אפס ולא שלילית.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול: משוואות, אסימפטוטות וחיתוכים
יש שלושה סוגי שאלות: לפתור משוואה מעריכית, למצוא את האסימפטוטה, ולמצוא איפה הגרף חותך את ציר y.
שאלות שכולם שואלים
מה זו פונקציה מעריכית?
פונקציה שבה המשתנה x נמצא במעריך, כמו y = 2x. כל צעד של 1 ימינה כופל את y באותו מספר, הבסיס. אם הבסיס גדול מ-1 הפונקציה עולה, ואם הוא בין 0 ל-1 היא יורדת. נסו במעבדה.
איך פותרים משוואה מעריכית?
כותבים את שני האגפים כחזקה של אותו בסיס ומשווים את המעריכים. למשל 9x = 27: 32x = 33, אז 2x = 3 ו-x = 1.5. כשאין בסיס משותף, משתמשים בלוגריתם.
מה זה המספר e?
מספר קבוע, בערך 2.718, כמו ש-π הוא מספר קבוע. הגרף של ex מיוחד: השיפוע שלו בכל נקודה שווה לגובה שלו. לכן ex והלוגריתם הטבעי ln x מופיעים בנגזרות ובגדילה ודעיכה.