מירי
כיתה יב · מעריכיות ולוגריתמים

לוגריתמים וחוקי הלוג באיזו חזקה?

לוגריתם הוא שאלה אחת: באיזו חזקה צריך להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר? log2 8 = 3, כי 23 = 8. לומדים לחשב לוגריתמים, את שלושת חוקי הלוג, מה זה ln, ואיך פותרים משוואה לוגריתמית. נושא של כיתה יב, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.

1

הרעיון: logb x = y ⇔ by = x

לוג הוא החזקה

כדי לחשב log3 81 שואלים: 3 בחזקת כמה זה 81? 34 = 81, אז log3 81 = 4.

ומספר קטן מ-1? log2 ⅛ = −3, כי 2−3 = ⅛. וכל בסיס בחזקת 0 הוא 1, לכן logb 1 = 0.

log ו-ln

log בלי בסיס הוא בסיס 10: log 1000 = 3. ו-ln הוא בסיס e, הלוגריתם הטבעי. הגרף של ln x (ורוד) הוא תמונת מראה של ex (כחול) סביב הישר y = x.

כפל הופך לחיבורlogb(xy) = logb x + logb y
חילוק הופך לחיסורlogb(x/y) = logb x − logb y
חזקה יוצאת קדימהlogb(xn) = n·logb x
החלפת בסיסlogb x = log x / log b
2

מעבדה: באיזו חזקה?

בחרו בסיס והזיזו את x. הנקודה הוורודה היא (x, logb x) על גרף הלוג, והנקודה הכחולה היא תמונת המראה שלה על הגרף של bx.

נסו את אלה:

3

מלכודות שכולם נופלים בהן

  1. לוג של סכום הוא לא סכום של לוגים. log(2 + 8) הוא לא log 2 + log 8. החוק עובד רק לכפל: log 2 + log 8 = log 16.
  2. חילוק של לוגים הוא לא לוג של חילוק. log 8 / log 2 הוא 3 (החלפת בסיס), אבל log(8/2) = log 4. אלה שני דברים שונים.
  3. המספר בתוך הלוג חייב להיות חיובי. אין log2(−4) ואין log2 0: שום חזקה של 2 לא נותנת אותם. במשוואה בודקים שהפתרון לא נותן מספר שלילי בתוך הלוג.
  4. הבסיס למטה, המעריך למעלה. log2 x = 5 אומר x = 25 = 32, לא 52 ולא 2·5.
במחשבון יש רק log (בסיס 10) ו-ln. בשביל בסיס אחר משתמשים בהחלפת בסיס: log2 5 = log 5 / log 2 ≈ 2.32. הלוג הוא הפעולה ההפוכה לפונקציה מעריכית.
4

דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד

5

תרגול: חישוב, חוקים ומשוואות

יש שלושה סוגי שאלות: לחשב לוגריתם, לפשט בעזרת חוקי הלוג, ולפתור משוואה לוגריתמית. בלי מחשבון!

6

שאלות שכולם שואלים

מה זה לוגריתם?

לוגריתם עונה על השאלה "באיזו חזקה?". logb x הוא המספר שצריך להעלות בו את b כדי לקבל x. למשל log5 25 = 2, כי 52 = 25. נסו במעבדה.

מה ההבדל בין log ל-ln?

log בלי בסיס כתוב הוא לוגריתם בבסיס 10, ו-ln הוא לוגריתם בבסיס e, בערך 2.718. החוקים זהים בשניהם. log 100 = 2, ו-ln e3 = 3.

איך פותרים משוואה לוגריתמית?

הופכים אותה לחזקה: אם logb A = n אז A = bn. למשל log3(x + 1) = 2 נותן x + 1 = 9, אז x = 8. בסוף בודקים שהמספר בתוך הלוג חיובי.

כדאי לחזור גם על: פונקציה מעריכית