מירינגזרות של eˣ ו-ln x הפונקציה שהיא הנגזרת של עצמה
יש פונקציה אחת מיוחדת מאוד: ex. בכל נקודה על הגרף שלה, השיפוע שווה בדיוק לגובה. ולפונקציה ln x, ההפוכה שלה, יש נגזרת פשוטה במיוחד: 1 ÷ x. נלמד את שתי הנגזרות, נגזור פונקציות מורכבות מהן בעזרת כלל השרשרת וכלל המכפלה, ונחקור פונקציה כמו x · ex. רוצים להיזכר מה זה e? ראו פונקציה מעריכית ולוגריתמים. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: שתי נגזרות לזכור
e בחזקת x
(ex)′ = ex
הנגזרת של ex היא אותה פונקציה בדיוק. לכן בכל נקודה, השיפוע של הגרף שווה לגובה שלו. ב-x = 0 הגובה 1, וגם השיפוע 1.
ln x
(ln x)′ = 1 ÷ x
הפונקציה מוגדרת רק ל-x > 0. ככל ש-x גדל, השיפוע קטן: ב-x = 1 השיפוע 1, וב-x = 4 רק ¼.
ועם כלל השרשרת
(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
(ln g(x))′ = g′(x) ÷ g(x)
למשל (e3x)′ = 3e3x, ו-(ln(x² + 1))′ = 2x ÷ (x² + 1).
מעבדה: שיפוע בכל נקודה
בחרו פונקציה והזיזו את הנקודה. הקו הכחול המקווקו הוא המשיק. המשולש הכחול מראה כמה המשיק עולה כשזזים צעד אחד ימינה: זה השיפוע.
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- גוזרים כמו חזקה. ex הוא לא xn. הנגזרת היא לא x · ex − 1. כאן x נמצא במעריך, ולכן (ex)′ = ex.
- שוכחים את הנגזרת של המעריך. (e5x)′ = 5e5x, ולא e5x. בלי ה-5 התשובה קטנה פי 5.
- ב-ln שוכחים את המונה. (ln(3x + 1))′ = 3 ÷ (3x + 1). מה שבתוך ה-ln הולך למכנה, והנגזרת שלו הולכת למונה.
- שוכחים את תחום ההגדרה. ב-ln x מותר רק x > 0. נקודה שבה הנגזרת מתאפסת אבל x שלילי היא לא בתחום, ולכן היא לא נקודת קיצון.
דוגמה פתורה: חקירה, צעד אחרי צעד
תרגול: גוזרים ומציבים
גזרו את הפונקציה וענו על השאלה. אפשר לכתוב שבר עם קו נטוי (3/4) או מספר עשרוני מעוגל לשתי ספרות אחרי הנקודה. זכרו: e ≈ 2.718.
שאלות שכולם שואלים
מה הנגזרת של e בחזקת x?
הנגזרת של ex היא ex, אותה פונקציה. זו הפונקציה היחידה (חוץ מכפולות שלה) שהשיפוע שלה שווה לגובה שלה בכל נקודה. ראו את זה במעבדה.
מה הנגזרת של ln x?
הנגזרת של ln x היא 1 ÷ x, והיא מוגדרת רק ל-x > 0. אם בתוך ה-ln יש ביטוי, מחלקים את הנגזרת שלו בביטוי עצמו: (ln(2x + 3))′ = 2 ÷ (2x + 3).
איך גוזרים e בחזקת 2x?
משתמשים בכלל השרשרת: משאירים את e2x כמו שהוא וכופלים בנגזרת של המעריך, 2. לכן (e2x)′ = 2e2x. באותה דרך (ex²)′ = 2x · ex².