מיריגדילה ודעיכה כל פעם כופלים באותו מספר
כסף בחיסכון עם ריבית דריבית, עיר שמספר התושבים בה גדל כל שנה, ותרופה שהולכת ומתפרקת בגוף. בכל המקרים האלה, בכל תקופה הכמות מוכפלת באותו מספר. זה נותן נוסחה אחת: M = M₀ · qt. נלמד מה כל אות אומרת, איך מוצאים את q מתוך אחוזים, ומה זה זמן מחצית חיים. זו פונקציה מעריכית, וכדי למצוא זמן משתמשים בלוגריתמים. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: הנוסחה M = M₀ · qᵗ
M = M₀ · qt
מה כל אות אומרת
M₀: הכמות בהתחלה.
q: במה כופלים בכל תקופה (מקדם הגדילה או הדעיכה).
t: מספר התקופות שעברו (שנים, שעות, חודשים).
M: הכמות אחרי t תקופות.
מאחוזים ל-q
גדילה של p אחוזים: q = 1 + p ÷ 100. למשל 5% נותן q = 1.05.
דעיכה של p אחוזים: q = 1 − p ÷ 100. למשל ירידה של 20% נותנת q = 0.8.
אם q > 1 יש גדילה. אם 0 < q < 1 יש דעיכה.
מעבדה: מה קורה עם הזמן?
בחרו גדילה או דעיכה, וקבעו את הכמות בהתחלה, את האחוז בכל תקופה ואת מספר התקופות. הקו הוורוד הוא M₀ · qt. הקו האפור המקווקו מראה מה היה קורה אם היו מוסיפים (או מורידים) כל פעם את אותו סכום, בלי "ריבית על ריבית".
נסו את אלה:
מלכודות שכולם נופלים בהן
- q הוא לא האחוז. גדילה של 5% היא q = 1.05, לא 5 ולא 0.05. עם 0.05 הכמות הייתה כמעט נעלמת.
- בדעיכה מורידים מ-1. ירידה של 20% היא q = 0.8, לא 0.2. כי נשאר 80% מהכמות.
- מחברים אחוזים. 10% בשנה במשך 3 שנים זה לא 30%. זה 1.1³ = 1.331, כלומר 33.1%. כל שנה הריבית מחושבת על הסכום החדש.
- מחצית חיים היא לא "חצי ועוד חצי". אחרי שתי תקופות של מחצית חיים לא נשאר 0. נשאר רבע: ½ · ½ = ¼.
- t בתקופות הלא נכונות. אם הריבית היא לשנה ונותנים זמן בחודשים, צריך קודם להפוך לשנים.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול: בונים את הנוסחה
בכל שאלה כתבו את הנוסחה M = M₀ · qt עם המספרים, ואז חשבו במחשבון. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.
שאלות שכולם שואלים
מה ההבדל בין ריבית פשוטה לריבית דריבית?
בריבית פשוטה מקבלים כל שנה את אותו סכום, מחושב רק על הכסף של ההתחלה. בריבית דריבית הריבית מחושבת כל שנה על הסכום החדש, כולל הריבית שכבר נצברה. לכן כופלים: M = M₀ · qt. 1000 ש״ח ב-10% לשלוש שנים נותנים 1300 בריבית פשוטה, ו-1331 בריבית דריבית.
איך מחשבים זמן מחצית חיים?
פותרים qt = 0.5. מוציאים log משני הצדדים ומקבלים t = log 0.5 ÷ log q. למשל כשנשאר 80% בכל שעה: t = log 0.5 ÷ log 0.8 ≈ 3.11 שעות. ראו דוגמה פתורה.
איך מוצאים את q מתוך אחוזים?
בגדילה מוסיפים את האחוז ל-1: גדילה של 3% היא q = 1.03. בדעיכה מורידים אותו מ-1: ירידה של 15% היא q = 0.85. אם יודעים את הכמות לפני ואחרי תקופה אחת, מחלקים: q = M₁ ÷ M₀.