מיריפונקציה ריבועית: הפרבולה חיוך, עצב וקודקוד אחד
כשיש במשוואה x², הגרף כבר לא ישר. הוא מתעקל ויוצר צורה שנקראת פרבולה. כל פונקציה ריבועית כותבים בצורה y = ax² + bx + c. נלמד מה כל מספר עושה לגרף, איך מוצאים את הקודקוד, ואיפה הפרבולה חותכת את הצירים. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: מה כל מספר עושה?
a · למעלה או למטה
אם a חיובי, הפרבולה פתוחה למעלה, כמו חיוך. אם a שלילי, היא פתוחה למטה, כמו עצב.
בוורוד y = x², הפתוחה למעלה. בכחול y = −x² + 4, הפתוחה למטה. ככל ש-a רחוק יותר מאפס, הפרבולה צרה יותר.
קודקוד, ציר סימטריה ו-c
הקודקוד הוא הנקודה הכי נמוכה (או הכי גבוהה) של הפרבולה. דרכו עובר ציר הסימטריה, קו שמחלק את הפרבולה לשני חצאים זהים.
כאן y = x² − 2x − 3. הקודקוד הוורוד ב-(1, −4), ציר הסימטריה x = 1, והנקודה הצהובה (0, −3) היא c.
מעבדה: הזיזו ותראו
הזיזו את המחוונים. a פותח, סוגר והופך את הפרבולה. c מזיז אותה למעלה ולמטה. b מזיז את הקודקוד הצידה (וגם קצת למטה או למעלה).
נסו את אלה:
שימו לב: כש-b = 0 הקודקוד תמיד על ציר y, ואז הוא בדיוק הנקודה הצהובה. ויש פרבולות שלא פוגשות את ציר x בכלל. נסו את y = x² + 2. איך פותרים את המשוואה של נקודות החיתוך לומדים במשוואה ריבועית ונוסחת השורשים.
מלכודות שכולם נופלים בהן
- c הוא לא הקודקוד. c הוא המקום שבו הפרבולה חותכת את ציר y. הוא שווה לקודקוד רק כש-b = 0.
- שוכחים את המינוס. ה-x של הקודקוד הוא −b ÷ (2a). ב-y = x² − 6x יש b = −6, ולכן x = 6 ÷ 2 = 3, ולא 3−.
- מחלקים ב-a במקום ב-2a. y = 2x² − 8x: x = 8 ÷ 4 = 2. מי שמחלק רק ב-2 מקבל 4, וזה לא נכון.
- מספר שלילי בריבוע. כשמציבים x = −3, כותבים בסוגריים: (−3)² = 9. הריבוע של מספר שלילי הוא תמיד חיובי.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
לחצו "הצעד הבא" ותראו איך מתארים פרבולה מתוך המשוואה שלה.
תרגול: קודקוד והצבה
כל פעם תופיע פונקציה חדשה ושאלה עליה. אפשר לכתוב שבר עם קו נטוי (1/2) או מספר עשרוני (0.5).
שאלות שכולם שואלים
איך מוצאים את הקודקוד של פרבולה?
קודם מוצאים את ה-x של הקודקוד בנוסחה x = −b ÷ (2a). אחר כך מציבים את ה-x הזה במשוואה ומקבלים את ה-y. למשל ב-y = x² − 4x + 3 יוצא x = 2 ו-y = −1, כלומר הקודקוד ב-(2, −1). תרגלו למטה.
איך יודעים אם פרבולה פתוחה למעלה או למטה?
מסתכלים רק על a, המספר שלפני x². אם הוא חיובי, הפרבולה פתוחה למעלה ולקודקוד יש ערך מינימום. אם הוא שלילי, היא פתוחה למטה ולקודקוד יש ערך מקסימום. נסו במעבדה למעלה.
מה זה ציר הסימטריה של פרבולה?
זה קו אנכי שעובר דרך הקודקוד ומחלק את הפרבולה לשני חצאים זהים, כמו מראה. המשוואה שלו היא x = ה-x של הקודקוד. לכן שתי נקודות באותו מרחק מהציר, אחת מימין ואחת משמאל, נמצאות תמיד באותו גובה.