מיריאי-שוויון ריבועי איפה הפרבולה מעל הציר?
אי-שוויון כמו x² − 5x + 6 > 0 שואל שאלה אחת פשוטה: לאילו x הפרבולה נמצאת מעל ציר x? לא מנחשים ולא מעבירים אגפים כמו במשוואה. מוצאים את השורשים, בודקים לאן הפרבולה פתוחה, וקוראים את התשובה מהציור. זה נושא של כיתה י, לרמת 4 ו-5 יח״ל. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
הרעיון: שלושה צעדים וציור קטן
פתוחה למעלה: "מחוץ" או "בין"
y = x² − 5x + 4 חותכת את ציר x ב-1 וב-4. היא מעל הציר משני הצדדים, ומתחת לציר רק בין השורשים.
פתוחה למטה: הפוך
y = −x² + 4 חותכת ב-2− וב-2. כאן היא מעל הציר רק בין השורשים, ומתחת לציר מחוץ להם.
- מעבירים הכול לצד אחד, כך שבצד השני יהיה 0.
- מציירים סקיצה (פתוחה למעלה או למטה, לפי a) וקוראים: איפה הגרף מעל הציר (> 0) ואיפה מתחתיו (< 0).
מעבדה: צובעים את הפתרון
בחרו סימן והזיזו את המחוונים. החלק הירוק על ציר x הוא הפתרון. נקודה מלאה אומרת שהשורש נכלל בפתרון, ונקודה ריקה אומרת שלא.
נסו את אלה:
שימו לב לשני המקרים המיוחדים. כשהפרבולה רק נוגעת בציר (שורש אחד), וכשהיא לא פוגשת אותו בכלל. אז התשובה יכולה להיות "כל x", "אין פתרון" או נקודה אחת בלבד.
מלכודות שכולם נופלים בהן
- השורשים הם לא התשובה. ב-x² − 9 > 0 השורשים הם 3− ו-3, אבל הפתרון הוא x < −3 או x > 3. השורשים הם רק הגבולות.
- לא מוציאים שורש משני האגפים. מ-x² > 9 לא יוצא רק x > 3. גם x = −4 מקיים אותו, כי 16 > 9.
- לא מחלקים ב-x. ב-x² > 2x אסור לחלק ב-x, כי לא יודעים אם הוא חיובי או שלילי. מעבירים: x² − 2x > 0, ואז פותרים.
- "אין שורשים" זה לא תמיד "אין פתרון". ל-x² + 1 > 0 אין שורשים, אבל הפרבולה כולה מעל הציר. לכן כל x הוא פתרון.
- כתיבה נכונה. "בין" כותבים −2 < x < 3. "מחוץ" כותבים בשני חלקים עם המילה או. אף פעם לא 3 < x < −2.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול: בחרו את הפתרון
פתרו במחברת, ואז בחרו את התשובה הנכונה ולחצו "בדיקה". הגרף מופיע רק כשמבקשים רמז שני.
שאלות שכולם שואלים
איך פותרים אי-שוויון ריבועי?
מעבירים הכול לצד אחד כך שבצד השני יש 0. מוצאים את השורשים של המשוואה, מציירים סקיצה של הפרבולה לפי הסימן של a, ובודקים איפה היא מעל ציר x (גדול מ-0) ואיפה מתחתיו (קטן מ-0). למשל x² − x − 6 < 0 נותן −2 < x < 3. תרגלו למטה.
מתי התשובה היא "בין השורשים" ומתי "מחוץ לשורשים"?
כשהפרבולה פתוחה למעלה (a חיובי), היא מתחת לציר בין השורשים ומעליו מחוץ להם. לכן "קטן מ-0" הוא בין השורשים, ו"גדול מ-0" הוא מחוץ להם. כשהפרבולה פתוחה למטה הכול מתהפך. נסו במעבדה.
מה עושים כשאין לפרבולה שורשים?
אם אין שורשים, הפרבולה כולה מעל הציר או כולה מתחתיו. פתוחה למעלה? היא תמיד מעל, אז "גדול מ-0" נכון לכל x ו"קטן מ-0" אין לו פתרון. פתוחה למטה? בדיוק הפוך.