מיריסדרות: איבר כללי וחוקיות מה יהיה האיבר ה-100?
סדרה היא רשימה של מספרים שיש בה חוקיות. כשמוצאים את החוקיות, אפשר לדעת כל איבר בסדרה בלי לכתוב את כל מה שלפניו. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
מקום וערך
הנה סדרה. כל פעם מוסיפים 3:
מקום וערך
לכל איבר יש מקום n (ראשון, שני, שלישי) וערך.
כותבים a1 = 5 וגם a3 = 11.
המספר הקטן למטה הוא המקום. המספר אחרי השווה הוא הערך.
סדרה חשבונית
בסדרה חשבונית מוסיפים כל פעם אותו מספר. קוראים לו ההפרש d.
מוצאים אותו כך: איבר פחות האיבר שלפניו. 8 − 5 = 3
אם הסדרה יורדת, ההפרש שלילי.
האיבר הכללי
נוסחה שנותנת את הערך לפי המקום:
an = 3n + 2
רוצים את האיבר ה-100? מציבים n = 100 ומקבלים 302.
מעבדה: בונים סדרה
בחרו איבר ראשון והפרש. בחרו גם מקום n, ותראו איך מגיעים לאיבר שלו. כל איבר הוא נקודה בגרף: המקום למטה, הערך למעלה.
נסו את אלה:
שימו לב לגרף: הנקודות של סדרה חשבונית תמיד יושבות על קו ישר, וההפרש d הוא השיפוע שלו. זה בדיוק כמו משוואת ישר, רק שיש נקודות רק במקומות 1, 2, 3 וכן הלאה.
שלוש מלכודות
n פעמים במקום n − 1
בסדרה 5, 8, 11, … האיבר העשירי הוא לא 5 + 10 · 3 = 35.
מהאיבר הראשון לעשירי יש רק 9 קפיצות: 5 + 9 · 3 = 32.
מקום או ערך?
"האם 50 בסדרה?" שואלים על ערך. פותרים 3n + 2 = 50 ומקבלים n = 16.
זה עובד רק אם n יוצא מספר שלם וחיובי. אחרת, 50 לא בסדרה.
הפרש בסדרה יורדת
בסדרה 20, 16, 12, … ההפרש הוא 16 − 20 = −4, ולא 4.
תמיד מחסרים: האיבר השני פחות הראשון, באותו כיוון.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
נתונה הסדרה:
מצאו את האיבר הכללי ואת האיבר ה-30. האם 99 נמצא בסדרה? ומה עם 100?
תרגול: חשבו בעצמכם
כל פעם תקבלו סדרה חדשה ושאלה אחת. מספר שלילי כותבים עם מינוס, למשל -4.
שאלות שכולם שואלים
איך מוצאים איבר כללי של סדרה חשבונית?
מוצאים את ההפרש d (איבר פחות האיבר שלפניו), ומציבים בנוסחה an = a1 + (n − 1) · d. אחר כך פותחים סוגריים. למשל ב-7, 11, 15 יוצא 4n + 3. ראו בדוגמה הפתורה.
איך בודקים אם מספר נמצא בסדרה?
משווים את האיבר הכללי למספר ופותרים משוואה. אם n יוצא מספר שלם וחיובי, המספר בסדרה, וזה גם המקום שלו. אם יוצא שבר או מספר שלילי, הוא לא בסדרה.
מה ההבדל בין n ל-an?
n הוא המקום של האיבר: ראשון, שני, עשירי. an הוא הערך שעומד במקום הזה. ב-5, 8, 11 המקום 3 והערך 11, ולכן a3 = 11. הזיזו את n במעבדה ותראו.