מירינוסחאות הכפל המקוצר
כמה זה (a + b)²? הרבה חושבים שזה a² + b², אבל חסר שם משהו. כאן תראו בציור של ריבוע מה חסר, ותלמדו שלוש נוסחאות שחוסכות הרבה עבודה. במעבדה מזיזים מחוונים ורואים מה קורה, ובתרגול מקבלים רמזים במקום תשובות.
שלוש נוסחאות, שלושה ציורים
כשכופלים סוגריים בסוגריים, כל איבר כופלים בכל איבר. בשלושה מקרים שחוזרים כל הזמן, התוצאה תמיד נראית אותו דבר. לכן שווה לזכור אותה.
ריבוע של סכום
(a + b)² = a² + 2ab + b²
ריבוע הראשון, ועוד פעמיים הראשון כפול השני, ועוד ריבוע השני.
ריבוע של הפרש
(a − b)² = a² − 2ab + b²
אותו דבר, רק שהאיבר האמצעי עם מינוס. ה-b² בסוף תמיד עם פלוס.
הפרש ריבועים
(a + b)(a − b) = a² − b²
סכום כפול הפרש של אותם שני דברים. האיברים האמצעיים מבטלים זה את זה.
למה זה נכון?
פותחים סוגריים רגיל: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b².
ו-ab ועוד ba זה פעמיים ab. משם מגיע ה-2.
מעבדה: הריבוע שמסביר הכול
בחרו נוסחה והזיזו את a ואת b. כל משבצת קטנה היא 1, אז השטח של כל חלק הוא מספר המשבצות שבו.
נסו את אלה:
שלוש מלכודות
שוכחים את האמצע
(x + 3)² ≠ x² + 9. חסר האיבר 6x.
בדיקה במספרים: (1 + 3)² = 16, אבל 1 + 9 = 10. לא שווה.
גם המקדם עולה בריבוע
(2x)² = 2x · 2x = 4x², ולא 2x².
ה-a בנוסחה הוא כל 2x, לא רק ה-x.
דוגמה פתורה, צעד אחרי צעד
תרגול: פתחו את הסוגריים
כתבו את התוצאה בצורה □x² + □x + □. אם יש מינוס, כתבו אותו בתוך התיבה, למשל −6. אם אין איבר עם x, כתבו 0.
אתגר: חשבון בראש
הנוסחאות עוזרות גם בלי x. למשל 21² = (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441. נסו לחשב בלי מחשבון:
שאלות שכולם שואלים
איך זוכרים את נוסחאות הכפל המקוצר?
משפט אחד: "ריבוע הראשון, פעמיים הראשון כפול השני, ריבוע השני". הסימן באמצע הוא הסימן שבסוגריים, ו-b² בסוף תמיד עם פלוס. תרגלו למטה עד שזה יוצא לבד.
למה (a+b)² לא שווה a²+b²?
כי בריבוע הגדול יש עוד שני מלבנים, כל אחד בשטח ab. למשל (3 + 2)² = 25, אבל 9 + 4 = 13, וחסרים בדיוק 2 · 6 = 12. ראו את המלבנים במעבדה.
מתי משתמשים בנוסחת הפרש ריבועים?
כשכופלים סכום בהפרש של אותם שני דברים, כמו (x + 7)(x − 7) = x² − 49. היא עוזרת גם בחשבון בראש: 31 · 29 = 30² − 1 = 899. בחרו "הפרש ריבועים" במעבדה.